Composition du premier semestre 2nd S 2024-2025

Exercice 1

NB : Les questions $1$, $2$, $3$ et $4$ de cet exercice sont indépendantes

1. Écrire $A$ le plus simplement possible, sans radical ni valeur absolue :

$A=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\left|3-\sqrt{5}\right|$

2. Écrire $B$ sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}$ où $m$, $n$, $p$ sont dans $\mathbb{Z}$ :

$B=\dfrac{9^{3}(-25)^{3}(-8)^{5}}{\left(-10^{2}\right)(-15)^{-}(-6)^{-4}}$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $|-x+2|=2x+3$

b. $|-2x+1|\leq 5$

c. $-x^{2}+6x-9<5$

4. Soit $x$ et $y$ deux nombres réels tel que :$|x-1|\leq 2$ et $d(y\ ;\ 4)\leq 3$

b. Donner un encadrement de $x+y$, $x-y$ et $xy$

Exercice 2

$ABC$ est un triangle quelconque

1. Placer les points $I$, $J$ et $K$ tels que :

$\overrightarrow{BI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ ; $\overrightarrow{CJ}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{AK}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}$

2.a. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AC}$

b. Exprimer $\overrightarrow{IK}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$

c. En déduire que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés

Exercice 3

$ABC$ est un triangle, $I$ est le point de la droite $(BC)$ tel que $\overrightarrow{BI}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$, $J$ est le point de la droite $(AC)$ tel que $\overrightarrow{CJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{CA}$, $K$ est le milieu de $[AB]$

1.a. Écrire $I$ comme barycentre de $B$ et $C$

b. Écrire $J$ comme barycentre de $A$ et $C$

c. Faire une figure précise

On note $G$ le barycentre de ${(A\;,3)\ ;\ (B\;,3)\ ;\ (C\;,1)}$

2. Montre que les droites $(AI)$, $(BJ)$ et $(CK)$ sont concourantes en $G$

3. Déterminer et construire dans la figure précédente :

a. l'ensemble  $(E)$ des points $M$ du plan tels que les vecteurs $3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient colinéaires.

b. L'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tels que $\left|\left|3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\right|=\left|\left|3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|\right|$

c. L'ensemble $(H)$ des points $M$ du plan tels que $\left|\left|3\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\right|=7\,AC$