Dans l'espace, on considère $8$ points $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ tels que $OABCGDEF$ soit un cube d'arête une unité.
l'espace est muni du repère orthonormé $\left(O\ ;\ \overrightarrow{OA}\;,\overrightarrow{OC}\;,\overrightarrow{OG}\right)$
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_{A}=-3i$, $z_{B}=-2$ et $z_{C}=1+2i.$
a. Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}$
b. En déduire la nature du triangle $ABC$
Pour chaque question, une et une seule des quatre propositions est exacte. Donner la bonne réponse.
Barème par réponse : réponse correcte $0.5$ point, absence de réponse $0$ point.
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $A$, $B$ et $B$ sont trois points d'affixes respectives : $$Z_{A}=-2+i\ ;\ Z_{B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }Z_{C}=-1+i\sqrt{3}$$
Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
1. Calculer $$\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$$.
2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $$f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$$.
3..Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.
4..Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.
Pour chaque énoncé, quatre réponses $A$, $B$, $C$et D$D$ sont proposées dont une seule est exacte.
Pour répondre tu écris sur ta copie le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la réponse choisie.
Aucun point ne sera enlevé pour une réponse fausse ou une absence de réponse.
1.a. Rappeler les formes algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe z non nul en indiquant le vocabulaire de chaque terme utilisé dans les écritures.
b. Rappeler quatre propriétés d'un argument d'un nombre complexe non nul.
2. Résoudre dans $C$ l'équation du second degré : $iz^{2}+4(1-i)z-12-3i=0$
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.
Pour répondre, écrire le numéro de l'énoncé suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.