Exercice 1

On considère l'équation $(E)$ : $(m+1)x^{2}+2mx+m-5=0$

1. Étudier, suivant les valeurs du paramètre réel $m$, l'existence et le signe des racines de $(E)$

2. Déterminer $m$ pour que $(E)$ ait deux racines $x'$ et $x''$ vérifiant $-1<x'<1<x''$

3. Trouver une relation indépendante de $m$ entre les racines de $(E)$

ACTIVITES NUMERIQUES

EXERCICE 1: (7 points)

PARTIE A: Recopie et complète les phrases ci-dessous :

Exercice 1

Soit l'équation $(E)$ $(m+3)x^{2}-(3m+1)x+2m-1=0\;,m\in\mathbb{R}$

1. Discuter suivant les valeurs de $m$ l'existence et le signe des racines de $(E)$

2. Trouver tous les réels $m$ pour que notant $x_{1}$ et $x_{2}$ $\left(x_{1}< x_{2}\right)$

a. $x_{1}< -1< x_{2}$

b. $x_{1}< x_{2}< 0$

Exercice 1

1. Soit $h$ la fonction définie par 

$h\ :\ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\ x\rightarrow (hx)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$

a; Montrer que $h$ est une application.

b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

2. Soit

Exercice 1

Soient $A$, $B$ et $C$ trois éléments donnés de $\mathcal{P}_{E}$

1. A quelle condition peut-on trouver des éléments $X$ de $\mathbb{P}_{E}$ tels que $A=B\cap X$ ?

2. A quelle condition peut-on trouver des éléments $Y$ de $\mathcal{P}_{E}$ tels que $A=B\cup Y$ ?

3. Montrer qu'il n'existe pas d'éléments $X$ ni d'éléments $Y$ de $\mathbb{P}_{E}$ tel que  $A=B\cup X=E$ ou $A\cap Y=\theta$ ?

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes

1. $\sqrt{5x-1}+\sqrt{3-x}=2+\sqrt{2}$

2. $3x^{2}+4x+\sqrt{3x^{2}+4x+5}=7(\text{ on pourra poser }X=3x^{2}+4x)$

3. $\sqrt{4x^{2}-mx+1}=2x-m$

4. $\sqrt{x^{2}+2x+1}<2x+1$

EXERCICE 1 : 

Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes

a) $f(x) = \sqrt{\dfrac{\sqrt{x + 3 }− 2}{x − 1}}$

b)$f(x) =\sqrt{x-2-\sqrt{x^{2}+3x+1}}$

c)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1} + 5x}{3x − 1}$

d)$f(x) =\dfrac{\sqrt{3x^{2} + 1}{\sqrt{x^{2}+x}}-\sqrt{x^{2}+1}} e)f(x) $

EXERCICE 2 :

Dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$.

EXERCICE 1 : 

On considère une application $$f : \begin{array}{rcl}
[4 ; +\infty[→ ℝ^{+}\\
x ⟼ x(\sqrt{x − 2})^{2}.
\end{array}.$$

1) Montrer que $∀ x; y \in [4; +∞[, f(x) = f(y) ⇒ (\sqrt{x }− 1)^{2} = (\sqrt{y} − 1)^{2}$.

2) Démontrer que $f$ est injective.

3) Démontrer que $f$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque. 

Exercice 1 

Soit $p(x)= ax^{2}+ bx^{3}+cx^{3}+bx+ a$ avec $a b$ et $c$ trois réels non nuls.

1) Montrer que $0$ n’est pas racine de . $P(x)$. 

2) Montrer que si $\alpha$ est racine alors $\dfrac{1}{\alpha}$ l’est aussi. 

3) Soit $x\ne 0$ on pose $y= x+\dfrac{1}{x}$.

a) Exprimer $y^{2}$ en fonction de $x$ et en déduire
$\dfrac{p(x)}{x^{2}}$ en fonction de $a,b,c,, y$ et $y^{2}$.