Devoir mathématique Ts1

Exercice 1

Sur les traces du village d'origine d'Omar Ibn Said

L'histoire d'Omar Ibn Said est une histoire fascinante qui continue de faire
couler beaucoup d'encre en Afrique et aux États-Unis.

Omar Ibn Said né au Fouta Toro (Sénégal) vers $1770$, il fut capturé et vendu à
l'age de $37$ ans comme esclave à Charleston (Caroline du Sud- États-Unis).

Des chercheurs sénégalais de l'IFAN avec leurs collègues américains se sont
lancés à la recherche de son village d'origine Coppé.

Ils disposent d'indices suivants :

$-\ $Un cours d'eau traverse une trajectoire rectiligne en un point non loin de
Coppé

$-\ $Le village est à $3\,km$ de ce point de contact

En supposant que le point traversé est le point $A(1\;,0)$ sur la carte avec un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{j}\;,\vec{j}\right)$ et que le cours d'eau est modéliser par la fonction $h$ définie par $h(x)=x^{2}-1-\left(\ln(x)\right)^{2}$  et que le village est sur une trajectoire parallèle à l'axe des abscisses.

Après avoir confirmer que le cours d'eau traverse bel et bien une trajectoire
rectiligne en $A(1\;,0)$, aider les chercheurs à localiser enfin le village d’OmarIbn Said sur la carte.

Échelle : $1\,km$ correspond à $1\,cm$ sur la carte 

1. Soit une fonction $f\ :\ [0.1]\rightarrow \mathbb{R}$ continue telle $f(0)=f(1)$ et soit $n\geq 1$ , un entier fixé. Montrer qu'il existe un réel $x_{n}\in[0.1]$ tel que $f\left(x_{n}+\dfrac{1}{n}\right)=f\left(x_{n}\right)$
 
2. Rappeler le théorème de Rolle ainsi que sa preuve.

Soit une fonction $h\ :\ [-1.1]\rightarrow \mathbb{R}$ continue telle $h(-1)=h(1)=h(0)=0$

On note $g\ :\ [-1.1]\rightarrow\mathbb{R}$ telle que $g(x)=2x^{4}+x+f(x)$

Montrer qu'il existe $c\in[-1.1]$ tel $g'(c)=0$

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ ; $(\text{unité graphique }2\,cm)$ graphique

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $I=\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :

$g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}$

On pose $V(x)=g(x)+\dfrac{1}{2}x^{4}$, $\forall x\in I$

1. Étudier les variations de $g$ et de $V$ (il ne sera pas nécessaire de calculer les limites aux bornes de $g$ et de $V$).

2. En déduire que $\forall\;, x\in I$, $\dfrac{-1}{2}x^{4}\leq g(x)\leq 0$

Partie B

Soit la fonction $f$ définie par $]-1\ ;\ +\infty[$ par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^{2}}\text{si }x\neq  0\\ f(0)&=&\dfrac{1}{1} \end{array}\right.$

On note $(C)$ la courbe de $f$ dans le plan muni d'un repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ (unité : $\,cm$)

1.a. Vérifier, pour tout $x\geq -\dfrac{1}{2}$ et $x\neq0$, que $f(x)=\dfrac{-g(x)}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}$

b. En utilisant l'inégalité trouvée en $A.2$), démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner une équation de la tangente $(T)$ à $(C)$ au point d'abscisse $0$

c. $f$ est-elle continue en $0$ ? 

Justifier votre réponse.

2. Soit $h$ la fonction définie sur $]-1\ ;\ +\infty[$ par: $h(x)=\dfrac{-x^{2}-2x}{1+x}+2\ln(1+x)$

a. a. Étudier le sens de variations de $h$ ; calculer $h(0)$ et en déduire le signe de $h$ sur $]-1\ ;\ +\infty[$

b. Démontrer que pour tout $x\in]-1\ ; 0[\cup ]0\ ;\ +\infty[$, on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^{3}}$

c. Dresser le tableau de variation complet de $f.$

3. Construire $(C)$ et la tangente $(T)$ (On précisera les asymptotes de $(C)$

Partie C

1.a. Démontrer que la fonction $w$ définie sur $]1\ ;\ +\infty[$ par : $w(x)=f(x)-x$ est continue et strictement décroissante.

b. En déduire que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\ ;\ +\infty[$ et que $\dfrac{1}{4}<\alpha <1$

2.a. Sachant que pour tout $x\geq 0$ on a : $x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq \ln (1+x)$$, démontrer alors que pour tout $x\geq 0$ on a : $\dfrac{-1}{1+x}\leq f(x)\leq 0$ ; puis pour tout $x\in\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ 1\right]\;,|f(x)|\leq \dfrac{4}{5}$ ; 

On pourra utilise les résultats de $B.2$

b. Démontrer que si $\dfrac{1}{4}\leq x\leq 1$ alors $\dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq 1$

3. On définit la suite $\left(V_{n}\right)$ par : $V_{0}=\dfrac{1}{2}$ et par la relation du récurrence $V_{n+1}=f\left(V_{n}\right)$, $\forall n\in\mathbb{N}$

a. Justifier que, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{1}{4}\leq V_{n}\leq 1$

b. Démontrer que, $\forall n\in \mathbb{N}$, $\left|V_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{4}{5}\left|V_{n}-\alpha\right|$ ; puis que, $\forall n\mathbb{N}\;,\left|V_{n}-\alpha\right|\leq\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}$

c. En déduire que la suite $\left(V_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite .

a. Déterminer un entier $n_{0}$ tel que $\forall n_{o} n_{o}$, $V_{n}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près