Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
1. Calculer $$\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$$.
2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $$f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$$.
3..Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.
4..Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.
Calculer $\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$.
2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$.
3.Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.
4.Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.
A tout couple de nombre réels $(\eta\;,\lambda)$, on associe le nombre réel $\Gamma^{\eta}_{\delta}(\eta\;,\lambda)$ définie par :
$$\Gamma_{\delta}^{\eta}(\eta\;,\lambda)=\int_{0}^{\mu_{\eta}}\left[\mathrm{e}^{x+\delta}-\eta\mathrm{e}^{\delta}\sin x-\lambda\mathrm{e}^{\delta}(1+\cos x\right]^{2}dx$$ ; où
$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$
$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre celle, toutes notées sur $1$ point.
Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.
Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note de cette première épreuve.
$-\ $On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels.
Avertissement !
$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$
$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre elles, toutes notées sur $1$ point.
Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.
Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve.
Notations !
$-\ $On désigne par $N$ l'ensemble des entiers naturels.
$-\ $On désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.
Exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point.
Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.
Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.
Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie.
Chaque réponse exacte est notée $0.5$ point.
Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.
Exercice 1
1. Démontrer que, pour tout réel $x\in\mathbb{R_{+}}$ et pour tout $n\in\mathbb{R}$, on a :
$(1+x)^{n}\geq 1+nx$
2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n.$
On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de $0$ à $n$ boules).
a. Déterminer le nombre total $A_{n}$ de rangements possibles.
b. Déterminer le nombre total $B_{n}$ de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.
3. On pose $P_{n}=\dfrac{B_{n}}{A_{n}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$