1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$
a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$ et $PPMC(a\;,b)=126$
2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$
b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
2. On considère le polynôme $P$ défini par :
A On donne le nombre complexe $u=3+3i$
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).
On précise que les questions sont indépendantes.
1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$
Cet exercice est composé de parties dans une large mesure indépendantes
On désigne par $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.
On note $U=\lbrace z\in\mathbb{C}|z|=1\rbrace$
On dit que $P\in\mathbb{C}[X]$ stabilise $U$ si $P(U)\subseteq U$
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$
Organisation des données.
Classement des données statistiques (séries brutes, séries ordonnées).
Calcul des effectifs, fréquences, pourcentages et moyennes.
Détermination de valeurs d'un caractère et des effectifs d'une série statistique à l'aide d'un diagramme, du mode.
Au cours d'analyse vous avez vu que les courbes représentative des fonctions du second degré $f(x)=ax^{2}+bx+c$ sont appelés <<paraboles>> et que celles de certains fonctions homographiques $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ sont appelées<<hyperboles>>.
Les questions $1.2.3$ et $4$ sont indépendantes
1.a. Donner la forme algébrique de $\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{3}$
b. Déterminer dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=4\sqrt{2}\left(-1-\mathrm{i}\right)$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
Préciser la nature et l'équation l'asymptote obtenue à partir des résultats suivants :
1. $\lim\limits_{x->3^{-}}f(x)=+\infty$
2. $\lim\limits_{x->+\infty}f(x)=-2$
3. $\lim\limits_{x->-\infty}[f(x)-(x+4)]=0$
Soient $f$ et $g$ les application définies par :$f(x)=-2x^{2}+7$ et $g(x)=2x+1$
1. Déterminer $f\circ f(x)$
2. Calculer $g\circ f(2)$