Terminale

Épreuve mathématiques

Exercice 1 

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.

Partie A

Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.

Exercice 1

Calculer $\int^{2}_{1}\dfrac{cos\left(lnx\right)}{x}dx$.

2.Donner la limite en $+\infty$ de la fonction $f(x)=\dfrac{x\sin x -\sqrt{x}}{x^{2}-1}$.

3.Donner le comportement au voisinage de $s=1$ de la même fonction.

4.Ecrire le nombre complexe $z=2i$ sous forme trigonométrique.

Épreuve mathématiques 

Problème 1

A tout couple de nombre réels $(\eta\;,\lambda)$, on associe le nombre réel $\Gamma^{\eta}_{\delta}(\eta\;,\lambda)$ définie par :
$$\Gamma_{\delta}^{\eta}(\eta\;,\lambda)=\int_{0}^{\mu_{\eta}}\left[\mathrm{e}^{x+\delta}-\eta\mathrm{e}^{\delta}\sin x-\lambda\mathrm{e}^{\delta}(1+\cos x\right]^{2}dx$$ ; où

Avertissement !

$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$

$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre celle, toutes notées sur $1$ point.

Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.

Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note de cette première épreuve.

Notations.

$-\ $On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels.

Avertissement !

$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$

$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre elles, toutes notées sur $1$ point.

Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.

Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note finale de cette première épreuve.

Notations !

$-\ $On désigne par $N$ l'ensemble des entiers naturels.

$-\ $On désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

Exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Aucune justification n'est demandée. 

Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées ; une seule est exacte. 

Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. 

Une réponse inexacte ou une absence de réponse est notée $0$ point.

Recopie sur ta copie le numéro de la question associée à la réponse choisie

Exercice 1

Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.

Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie. 

Chaque réponse exacte est notée $0.5$ point. 

Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.

Exercice 1

1. Démontrer que, pour tout réel $x\in\mathbb{R_{+}}$ et pour tout $n\in\mathbb{R}$, on a :

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$

2. On dispose de $n$ boules numérotées de $1$ à $n.$

On les range toutes dans (chaque boite pouvant contenir de $0$ à $n$ boules).

a. Déterminer le nombre total $A_{n}$ de rangements possibles.

b. Déterminer le nombre total $B_{n}$ de rangements tels que chaque boite contienne exactement une boule.

3. On pose $P_{n}=\dfrac{B_{n}}{A_{n}}\;,\forall n\in\mathbb{N^{\ast}}$

Exercice 1

Soient $f$ et $g$ deux application telles que : $f(x)=-3+2$ et $g(x)=x^{2}-5$

1. Déterminer $fog(x)$ et $gof(x)$

2. Calculer $fog(x)$ pour $x=2$ de deux manière différentes.

Exercice 2

1. Soit $P(x)=-x^{4}+2x^{3}-x+2$

a. Calculer $P(-1)$ et $P(2)$

b. Factoriser $P(x)$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)=0$

b. $(x+1)(x-2)\left(-x^{2}+x-1\right)<0$