Les questions $1.2.3$ et $4$ sont indépendantes
1.a. Donner la forme algébrique de $\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{3}$
b. Déterminer dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=4\sqrt{2}\left(-1-\mathrm{i}\right)$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
Préciser la nature et l'équation l'asymptote obtenue à partir des résultats suivants :
1. $\lim\limits_{x->3^{-}}f(x)=+\infty$
2. $\lim\limits_{x->+\infty}f(x)=-2$
3. $\lim\limits_{x->-\infty}[f(x)-(x+4)]=0$
Soient $f$ et $g$ les application définies par :$f(x)=-2x^{2}+7$ et $g(x)=2x+1$
1. Déterminer $f\circ f(x)$
2. Calculer $g\circ f(2)$
Exercice 1
Répondre aux questions suivantes :
1. Rappeler le théorème des valeur intermédiaires
2. Rappeler le théorème de la bijection
3. Soit $f : 1\rightarrow\,j$ une bijection, $x_{0}\in I$ et $t$ $y_{0}\in j$ tel que $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
On notre $A$ le point d'affixe $I$ et $B$ le point d'affixe $3+2i$
On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ distinct de $A$ et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z-1+2i}{z-1}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $-3\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq-x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
2. On considère le polynôme $|P|=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1$
1. La premier sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ qui s'annule en $0$ est :
a. $F=8\sqrt{x^{2}+x}$
b. $F(x)=2-2\sqrt{x^{2}+1}$
c. $F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-1$
2. Une écriture trigonométrique du nombre complexe $z=\left(-\sqrt{3}+l\right)^{3}$ est :
1. On considère les équations différentielles.
$(E)\ :\ y"-y'=2(x+2)\mathrm{e}^{x}$ et $\left(E_{0}\right)\ :\ y"-y'=0$
1. Déterminer $\alpha$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=ax(x+2)\mathrm{e}^{x}$ soit solution de $(E)$
2. Démontrer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g^{-}f$ est solution de $\left(E_{0}\right)$
On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.
Toute affirmation devra être justifiée.
Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire
des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.
Mais ils doivent absolument être
mentionnés.
Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.
Il est recommandé par contre d'annoncer ce qui va être démontré.
On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.
Toute affirmation devra être justifiée.
Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.
Mais ils doivent absolument être mentionnés.
Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.
$\bullet$un ensemble est une réunion d'objets distincts.
Chaque objet de l'ensemble est appelé élément de l'ensemble.
Il est souvent noté par une lettre majuscule.
$\bullet$Lorsque $E$ désigne un ensemble, $l$ et $E$ est dit cardinal de $E$ et est
noté $card(E)$.
Soit $E$ ,l'ensemble des lettres du nom de famille fall ».