On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un
paramètre réel.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$
2. On suppose que $m<1$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$
Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$
Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$
On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$
Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :
$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$
Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$
Énoncer de manière concise et précise :
1.le théorème de Roll
2. le théorème des accroissements finis
3. le théorème des accroissements finis généralisés
4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis
Sur les traces du village d'origine d'Omar Ibn Said
L'histoire d'Omar Ibn Said est une histoire fascinante qui continue de faire
couler beaucoup d'encre en Afrique et aux États-Unis.
Omar Ibn Said né au Fouta Toro (Sénégal) vers $1770$, il fut capturé et vendu à
l'age de $37$ ans comme esclave à Charleston (Caroline du Sud- États-Unis).
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=5$
b. $\sqrt{x^{2}+3x+6}-3x=x^{2}+4$
c. $\sqrt{x^{2}-1}\leq 2x+3$
2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$
le système suivant par la méthode du pivot de GAUSS :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} |x|5(y-2)-\dfrac{14}{x}&=&3\\ 5|x|+3(y-2)+\dfrac{2}{x}&=&3\\
3|x|+(y-2)-\dfrac{4}{x}&=&-1 \end{array}\right.$
1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$
On note $(E)$ l'ensemble des entiers $x\in\mathbb{Z}$ tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$
Soit $P$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$
Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$
1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$
1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$