1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$
On note $(E)$ l'ensemble des entiers $x\in\mathbb{Z}$ tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$
Soit $P$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$
Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$
1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$
1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$
1.a. Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide, deux entiers $a$ et $b$ tels que $31a+13b=1$
b. Déduire l'entier, inverse de $13$ modulo $31$ compris entre $1$ et $30$
1. 1. On considère deux entiers naturels $a$ et $b$ tel que : $a+b=23$
a. Montrer que $a$ et $b$ sont premiers entre eux
b. En déduire $a$ et $b$ sachant que $a< b$ et $PPMC(a\;,b)=126$
2. Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $9u-14v=1$
On précise que les questions sont indépendantes.
1. Trouver toutes les paires d'entiers naturels non nuls $a$ et $b$ tels que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl}
PPCM(a\;,b)&=&3PGCD(a\;,b)&=&276\\ 10&<&PGCD(a\;,b)&<&30 \end{array}\right.$
Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers vérifiant : $9^{p+q-1}\equiv 1[pq]$ et $p<q$
1. a Montrer que $p$ et $9$ sont premiers entre eux.
b. En déduire que $9^{p-1}\equiv 1[p]$ et $9^{q}\equiv 1[p]$
Au cours d'analyse vous avez vu que les courbes représentative des fonctions du second degré $f(x)=ax^{2}+bx+c$ sont appelés <<paraboles>> et que celles de certains fonctions homographiques $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ sont appelées<<hyperboles>>.
1. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
b. En déduire les solutions de l'équation :
$\left(\sqrt{x+1}\right)^{3}-6\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}+11\sqrt{x+1}-6=0$