Compositions harmonises du $1^{er}$ semestre $TS_{1} 2024-2025$

Exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

On notre $A$ le point d'affixe $I$ et $B$ le point d'affixe $3+2i$

On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ distinct de $A$ et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z-1+2i}{z-1}$

1. Calculer les affixes des points $O'$ et $B'$ , image respectives des points $O$ et $B$ par $f$

Placer les points $A$, $O'$, $B$ et $B'$ dans le plan

2.a. Calculer, pour tout nombre complexe $z$ différent de $I$, le produit $\left(z^{'}-1)\times(z-1)\right)$

b. En déduire que pour tout points $M$ distinct de $A$, on a : $AM\times AM'=2$ et $\left(\vec{u}\;,\overrightarrow{AM}\right)+\left(\vec{u}\;,\overrightarrow{AM'}\right)=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\;,k\in\mathbb{Z}$

3. Démontrer que, si $M$ appartient au cercle $(\Gamma)$ de centre $A$ passant par $O$, alors $M'$ appartient à un cercle $\left(\Gamma'\right)$

En préciser le centre et le rayon.

Construire $(\Gamma)$ et $\left(\Gamma'\right)$

4.a. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{u}\;,\overrightarrow{AB}\right)$

b. Démontrer que, si $M$ est un point que $A$ de la demi-droite $(d)$ d'origine, passant par $B$, alors $M'$ appartient à une demi-droite que l'on précisera

5. On appelle $P$ le point d'intersection du cercle $(\Gamma)$ et de la demi-droite $(d)$

Placer sont image $P'$ sur la figure

Exercice 2

On considère la suite $u$ définie par : $U_{n}=\dfrac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^{n}\ln(n+k)\right]-\ln n\;,\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}$

1. Démontrer que $U_{n}=\dfrac{1}{n}\left[\sum_{k=1}^{n}\ln\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right]$

2.a. Pour $k$ compris entre $O$ et $n-1$, démontrer que : $\dfrac{1}{n}\ln\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\leq\int_{1+\dfrac{k}{n}}^{1+\dfrac{k+1}{n}}\ln(x)dx\leq\dfrac{1}{n}\ln\left(1+\dfrac{k+1}{n}\right)$

b. En déduire que $U_{n}-\dfrac{1}{n}\ln(2)\leq\int_{1}^{2}\ln(x)dx\leq U_{n}$

c. Déduire de ce qui précède un encadrement de $U_{n}$ et sa limite quand $n$ tend vers $+\infty$

Problème :

L'objet de ce problème est l'étude de quelques propriétés des fonctions $f_{n}$ avec $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, définies sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $f_{n}(x)=x-n-\dfrac{n\ln x}{x}$

La représentation graphique de $f_{n}$ dans un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ est noté $C_{n}\left(\text{ unité :}2\,cm\right)$

A. Étude des variations de $f_{n}$

1. Soit, pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, la fonction $g_{n}$  définie sur l'intervalle  $]0\ ;\ +\infty[$ par : $g_{n}(x)=x^{2}-n+n\ln x$

a. Étudier le sens de variations de $g_{n}$ ; préciser ses limites en $0$ et $+\infty$

b. Montrer que l'équation $g_{n}(x)=0$ admet une solution unique notée $\alpha_{n}$ et qu'elle est dans $[1\ ;\ 3]$

2. Montrer que : $\forall x\in]0\ ;\ +\infty[\;,f_{n}^{'}(x)=\dfrac{g_{n}(x)}{x^{2}}$

 ; en déduire le sens de variation de $f_{n}$
 
3.a. Étudier les limites de $f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$

b. Montrer que la droite $D_{n}$ d'équation $y=x-n$ est asymptote à la courbe $C_{n}$

c. Étudier la position de $C_{n}$ par rapport à $D_{n}$

B. Étude des cas particuliers $n=1$ et $n=2$

1. $\alpha_{n}$ étant le nombre défini en $A.1$, montrer que $\alpha_{1}=1$ et que $1.2<\alpha_{2}<1.3$

2.a. En utilisant les règles sur les inégalités et l'encadrement de $\alpha_{2}$ précédent, montrer que : $f_{2}\left(\alpha_{2}\right)\geq -1.24$

b. En utilisant le sens de variation de $f_{2}$, montrer que : $f_{2}\left(\alpha_{2}\right)\leq -1.10$

3. Donner les tableaux de variations de $f_{1}$ et $f_{2}$

4. Représenter dans le repère les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ puis les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$

5. Déterminer la primitive $F_{1}$ de $f_{1}$ qui s'annule en $1$

C Étude des position relatives des courbes $C_{n}$

1. Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$ et pour tout réel $x$ de $]0\ ;\ +\infty[$ calculer $f_{n}(x)-f_{n+1}(x)$

Calculer la limite en $+\infty$ de cette différence

2. Soit $d$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty[$ par : $d(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}$

a. Étudier le sens de variation de $d$, préciser ses limites en $0$ et en $+\infty$

b. Déduire de la question précédente que l'équation $d(x)=0$ admet une solution unique $\beta$ et que $\beta$ appartient à l'intervalle $]0\ ;\ 1[$

c. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul $f_{n}(\beta)=\beta$

3.a. A l'aide des résultats obtenu dans les questions $1.$ et $2.$ de cette partie $C$, établir que toutes les courbes $C_{n}$ se coupent en un point $A$

b. Préciser les positions relatives $C_{n}$ et $C_{n+1}$