On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un
paramètre réel.
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$
2. On suppose que $m<1$
Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$
Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$
Dans tout l'exercice, $\theta$ est un réel tel que $0<\theta <\dfrac{\pi}{2}$
On considère dans $C$ l'équation d'inconnue $z$ suivante: $$\left(E_{\theta}\right)\ :\ z^{2}-2z+\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=0$$
Soit $P_{\theta}$ le polynôme défini par :
$P_{0}(z)=z^{3}-\left(2+i\tan\theta\right)z^{2}+\left(1+\tan^{2}\theta+2i\tan\theta\right)z-i\tan\theta\left(1+\tan^{2}\theta\right)$
Soit $P$ un polynôme à coefficients réels de degré supérieur à $2$ vérifiant, pour tout $x$ réel :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} P(x)&=&(x-2)Q_{1}(x)-5\\ P(x)&=&(x+4)Q_{2}(x)+7 \end{array}\right.\text{ où }Q_{1}\text{ et }Q_{2}\text{sont des polynômes à coefficients réels.}$
Déterminer le reste de la division euclidienne de $P(x)$ par $x^{2}+2x-8$
1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
Énoncer de manière concise et précise :
1.le théorème de Roll
2. le théorème des accroissements finis
3. le théorème des accroissements finis généralisés
4. le théorème de l'inégalité des accroissements finis
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$
On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$
1. Étudier les variations de
2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$
3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
Sur les traces du village d'origine d'Omar Ibn Said
L'histoire d'Omar Ibn Said est une histoire fascinante qui continue de faire
couler beaucoup d'encre en Afrique et aux États-Unis.
Omar Ibn Said né au Fouta Toro (Sénégal) vers $1770$, il fut capturé et vendu à
l'age de $37$ ans comme esclave à Charleston (Caroline du Sud- États-Unis).
1. Simplifier l'expression suivante :
A : $\dfrac{\left(3^{2}\times 7^{5}\right)^{-3}}{\left(7^{2}\times 3^{-3}\right)^{2}}\times \left[\dfrac{(7\times 3)^{2})^{2}}{3^{2}\times 7}\right]^{3}$
2. Soit $p$ et $q$ deux réels, démontrer que : $\left(p^{2}q^{3}+p^{3}q^{2}\right)^{2}=p^{4}q^{4}(p+q)^{2}$