1.a) Montrer par récurrence que pour tout $\in\mathbb{N}\;,21^{n}\equiv 1+20\,n\left(\text{mod }100\right)$
b. En déduire les deux derniers chiffres de l'entier $2021^{2021}$
On note $(E)$ l'ensemble des entiers $x\in\mathbb{Z}$ tels que pour tout $\in\mathbb{N}\;,x^{n}\equiv 1+n(x-1)(\text{mod 100})$
1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
c. Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$
b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
Soit $P$ un nombre premier impair.
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$
Exercice 1 :
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :
$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$
1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$
b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que :
Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$
1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$
Soit le complexe $\alpha=-1-\vec{i}$ et $\left(?_{?}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ?_{0}&=&0 ???_{1}=?\\ ?_{?+1}&=&(1-?)?_{?}+??_{?-1} \end{array}\right.$
1. Déterminer $?_{2}$ et $?_{3}$ sous forme algébrique.
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes
$A-$ On considère le polynôme $?$ défini par $?(?)=2?^{3}-5?^{2}-46?+24$
1. Vérifier que $6$ est racine de $?(?)$
2. En déduire une factorisation complète de $?(?)$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $?(?)=0$
4. En déduire les solutions de :
1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$
1) On donne le polynôme $P(x)=ax^{3}+bx^{2}-18x+c$ ; où $a$,$b$ et $c$ sont des réels.
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
I. On appelle $T$ l'application du plan dans lui-même qui au point $M(x\;,y)$ associe le point $M'\left(x^{'}\;,y^{'}\right)$ tel que : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x+y\\ y'&=&-x+y-1\end{array}\right.$