A limites

a. Limites des fonctions de référence

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\

Corrigé 1

Dans $]-\pi\ ;\ \pi]$

1. $x\in\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4}\;,-\dfrac{5\pi}{12}\;,\dfrac{\pi}{4}\;,\dfrac{7\pi}{12}\right\rbrace$

2. $x\in\left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\;,-\dfrac{\pi}{2}\;,0\;,\dfrac{\pi}{6}\;,\dfrac{2\pi}{3}\;,\dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$

3. $x\in\left\lbrace 0\;,\dfrac{\pi}{2}\right\rbrace$

Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2[$, puis dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les inéquations suivantes :

1. $2\cos x+1> 1$

2. $\sqrt{3}\cos x-1\leq 0$

3. $1-2\sin x\leq 0$

4. $2\sin x-\sqrt{3}< 0$

6. $\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$

7. $4\cos^{2} x-2\left(\sqrt{2}-1\right)\cos x-\sqrt{2}> 0$

8. $4\sin^{2} x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$

Théorème ( Rappels fondamentaux )

$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$

$co\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$

$1+co\tan^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$

$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x_sin y$

EXERCICE 1 : 

$ABC$ est un triangle du plan tel que : $AB = 4cm , AC = 5cm$ et $\cos(\overbrace{A}) =\dfrac{3}{5}$.

1. Construire le triangle $ABC$ sans chercher une valeur approchée de l’angle $\overbrace{BAC}$ et expliquer la méthode utilisée. 

2. $A’$ est le milieu de $[BC]$ et $I$ est le barycentre des points pondérés $(A, 2), (B, −1)$ et $(C, 1)$

a) Démontrer que $AA’CI$ est un parallélogramme. 

Considérons la fonction $f$ définie par $f(n)=\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)$

Partie A

L'objectif de cette partie est de montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}f(n)=\dfrac{1}{2}$

1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$

2. Montrer que $\Pi_{k=2}^{n}\left(1-\dfrac{1}{k^{2}}\right)=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\times k}$

Exercice 1

On considère la fonction numérique définie par : $f(x)=\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin (2x)-\sqrt{2 \cos x}}$

1. a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin (2x)-\sqrt{2} \cos x=0$

b. Déduis $D_{f}$

2. Montre que pour tout $x\in D_{f}\;, f(x)=\dfrac{\tan x-1}{2\sin x-\sqrt{2}}$

a. Résoudre dans $[0\ ;\ 2\pi]$ l'équation $f(x)=0$

Exercice 1

Soit $ABC$ u triangle rectangle en $C$ et en réel différent de $-2$

On considère l'application $f$ du plan $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$

1. Justifier  l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système : $\left\lbrace(A\;,1)\ ;\ (B\;,1)\ ;\ (C\;,m)\right\rbrace$

2. Montre que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$

Exercice 1

On considère l'application $f\ :\ \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\\ x\mapsto x^{2}-4x+5$

1.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f-2-x)=f(2x+x)$

b. L'application $f$ est-elle injective ? Justifier

2.a Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\ :\ f(x)\geq 1$

b. L'application $f$ est surjective ? justifier