Composition du second semestre TS2 - 2024-2025

Épreuve mathématique 

Exercice 1

Soit le complexe $\alpha=-1-\vec{i}$ et $\left(?_{?}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par : 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} ?_{0}&=&0 ???_{1}=?\\ ?_{?+1}&=&(1-?)?_{?}+??_{?-1} \end{array}\right.$

1. Déterminer $?_{2}$ et $?_{3}$ sous forme algébrique.

2. Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie par : $?_{?}=?_{?+1}-?_{?}$ pour tout entier $n$

a. Déterminer $U_{0}$ et $U_{1}$ sous forme algébrique.

b. Démontrer que $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $-\alpha$

c. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$ et $\alpha$

3. Soit $S_{n}=U_{0}+U_{1}+\ldots+U_{n-1}$

Exprimer $S_{n}$ en fonction de $?_{?}$

En déduire que $?_{?}=-1+(1+i)^{n}$

4. a. Déterminer le module et un argument de $\alpha$

b. Donner la forme algébrique de $?_{25}$

5. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$, on désigne par $?_{0}$ le point d'affixe $?_{0}$, $A_{1}$ le point d'affixe $?_{1}$, $A_{2}$ le point d'affixe $?_{2}$

Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe qui transforme $A_{0}$ en $A_{1}$ et $A_{1}$ en $A_{2}$

Exercice 2

Une urne contient $47$ boules blanches numérotées de $1^$ à $7$ ; $5$ boules rouges numérotées de $1$ à $5$ et $3$ boules vertes numérotées de $1$ à $3$

On extrait simultanément $3$ boules de l'urne ; les tirages étant supposés équiprobables.

1. Calculer les probabilités des événements suivants :

A: « On a tiré trois boules de même couleur »

B : « On a tiré trois boules de numéros impairs »

C : « On a tiré au moins une boule de numéro pair »

D: « On a tiré trois boules de même couleur ou trois boules de numéro impair » 

2. Sachant que l'on a tiré trois boules de même couleur, quelle est la probabilité qu'elles
 portent des numéros impairs ?
 
3. On considère la variable aléatoire $X$ prenant pour valeur le nombre de boules de numéros impairs.

a. Déterminer la loi de probabilité de $X$

b. Calculer son espérance mathématique.
 
Problème:

La fonction $f$ est définie par: 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\left(\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}}\right)\mathrm{e}^{-\dfrac{1}{x}}\;,&\text{ si }&x&>&0\\ f(x)&=&\dfrac{x}{x+1}+\ln(x+1)\;,&\text{ si }&-1&<&x&\leq& 0 \end{array}\right.$
 
$\left(C_{f}\right)$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique: $2\,cm$

Partie A:

1. Démontrer que l'ensemble de définition de $f$ est $D_{f}=]-1\ ;\ +\infty[$

2.a. Montrer les égalités suivantes: $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,1^{+}}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}f(x)=1$

b. Déduire de la question précédente les droites asymptotes de $\left(C_{f}\right)$ .

3.a. Montrer que $\lim\limits_{x\longrightarrow 0^{+}}\dfrac{1}{x}\mathrm{e}^{\dfrac{-1}{x}}=0$

b. Étudier la continuité de $f$ en $0$

c. En posant $h=\dfrac{1}{x}$ étudier $\lim\limits_{x\longrightarrow 0^{+}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$

d. Étudier $\lim\limits_{x\longrightarrow 0^{-}}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$

$f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Interpréter graphiquement vos résultats.

4. Démontrer que :

a. Pour tout $x\in]0\ ;\ +\infty[\;,f'(x)=\left(\dfrac{1-x}{x^{4}}\right)\mathrm{e}^{\dfrac{-1}{x}}$

b. Pour tout $x\in]-1\ ;\ 0[\;,g'(x)=\dfrac{x+2}{(x+1)^{2}}$

5. Dresser le tableau de variation de $f$ 

6. Tracer $\left(C_{f}\right)$ 

Partie B:

Soit $\alpha$ un nombre réel tel que $-1<\alpha<0$

1. a. Montrer que pour tout $x$ tel que
 
b. En utilisant une intégration par parties démontrer que:

$?_{\alpha}^{0}\ln(x+1)dx=-\alpha\ln(\alpha+1)+\alpha-\ln(\alpha+1)$

2.a. En déduire l'aire $A_{(\alpha)}$ du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses,la courbe $\left(C_{f}\right)$ et les droites d'équations $x=\alpha$ et $x=0$

b. Calculer $\lim\limits_{\alpha\longrightarrow 1^{+}}A(\alpha)$