Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_{A}=-3i$, $z_{B}=-2$ et $z_{C}=1+2i.$
a. Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}$
b. En déduire la nature du triangle $ABC$
Pour chaque question, une et une seule des quatre propositions est exacte. Donner la bonne réponse.
Barème par réponse : réponse correcte $0.5$ point, absence de réponse $0$ point.
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $A$, $B$ et $B$ sont trois points d'affixes respectives : $$Z_{A}=-2+i\ ;\ Z_{B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }Z_{C}=-1+i\sqrt{3}$$
Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$
1.a. Rappeler les formes algébrique et trigonométrique d'un nombre complexe z non nul en indiquant le vocabulaire de chaque terme utilisé dans les écritures.
b. Rappeler quatre propriétés d'un argument d'un nombre complexe non nul.
2. Résoudre dans $C$ l'équation du second degré : $iz^{2}+4(1-i)z-12-3i=0$
Pour chacun des énoncés ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule, est exacte.
Donner le numéro de l'énoncé suivi de la réponse choisie.
Chaque réponse exacte est notée $0.5$ point.
Une réponse fausse ou une absence de réponse sont notées zéro.
Exercice 1
I. Résoudre dans $\mathbb{R}$
a. $\sqrt{x^{2}-2x-3}-x-4=0$ ;
b. $\sqrt{-x^{2}-x+2}=\sqrt{x^{2}-5x+6}$ ;
c. $\sqrt{2x^{2}-3x-2}\leq 1-x$ ;
d. $\sqrt{x^{2}-3x+1}>\sqrt{2x^{2}+x+1}$
e. $\sqrt{x^{2}-5x+4}>x-2$
II. En utilisant la méthode du pivot de Gauss, Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système
$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y+z&=&5&\\ x+2y+z&=&\\ -3x+2y+4z&=&3 \end{array}\right.$$
Exercice 2