$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Fonction }&\text{Ens. de déf}&\text{Lim. en }0&\text{Lim. en }+\infty&\text{Lim en }-\infty\\ \hline x\mapsto x^{n}(n\text{ pair})&]-\infty\ ;\ +\infty[&0&+\infty&+\infty\\
Dans $]-\pi\ ;\ \pi]$
1. $x\in\left\lbrace -\dfrac{3\pi}{4}\;,-\dfrac{5\pi}{12}\;,\dfrac{\pi}{4}\;,\dfrac{7\pi}{12}\right\rbrace$
2. $x\in\left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\;,-\dfrac{\pi}{2}\;,0\;,\dfrac{\pi}{6}\;,\dfrac{2\pi}{3}\;,\dfrac{5\pi}{6}\right\rbrace$
3. $x\in\left\lbrace 0\;,\dfrac{\pi}{2}\right\rbrace$
Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2[$, puis dans l'intervalle $]-\pi\ ;\ \pi]$ les inéquations suivantes :
1. $2\cos x+1> 1$
2. $\sqrt{3}\cos x-1\leq 0$
3. $1-2\sin x\leq 0$
4. $2\sin x-\sqrt{3}< 0$
6. $\sqrt{3}\tan x-3\leq 0$
7. $4\cos^{2} x-2\left(\sqrt{2}-1\right)\cos x-\sqrt{2}> 0$
8. $4\sin^{2} x-2\left(1+\sqrt{3}\right)\sin x+\sqrt{3}\leq 0$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$
$co\tan x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$
$1+\tan^{2} x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$
$1+co\tan^{2}x=\dfrac{1}{\sin^{2}x}$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$
$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x_sin y$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes.
a. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}=|2x+2|$
b. $\sqrt{1-2x}\geq 2x+11$
c. $\sqrt{3-2x}+\sqrt{2x+5}=4$
d. $2x^{2}+x+2\sqrt{2x^{2}+x-3}=6$
a. Déterminer le polynôme $P$ de degré $3$ tel que $P(O)=O$ et pour tout réel $x$, $P(x)-P(x-1)=x^{2}$
1. Énoncer clairement les théorèmes suivants.
a. Théorème des valeurs intermédiaires.
b. Théorème de la bijection.
c. Théorème de l'inégalité des accroissements finis $(TIAF)$
Déterminer les limites suivantes :
a. $\lim\limits_{x\longrightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+1}-2}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
A : $x^{3}+6x-7=0$ ;
B : $\sqrt{111-x}=x-5$ ;
C : $\sqrt{111-x^{3}-6x}=x^{3}+6x-5$
D : $\sqrt{x+2}\leq x$
2. Résoudre par la méthode de pivot de Gauss le système suivant :
a. Si $f$ est $\ldots\ldots$ sur un intervalle $[a\;,b]$ et s'il existe de réels $m$ et $M$ tels que $\forall x\in[a\;,b]$, $m\leq f'(x)\leq M$ alors $m(\ldots)\leq f(b)-f(a)\leq\ldots$
On considère la fonction polynôme ݂ définie pour tout réel $f$ par : $f(x)=2x^{3}-3x^{2}-1$
1. Étudier les variations de
2. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique ߙ dans $\mathbb{R}$ telle que :$ 1,6<\alpha<1.7$
3. En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$
1. Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls.
Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivants :
a. $\left|2^{2}\right|=\ldots\;,n$ un entier naturel ;
c. Si $z'$ est non nul, alors $\left|\dfrac{x}{x'}\right|=\ldots$
b. $arg\left(z^{n}\right)=\ldots\;,n$ un entier naturel ;