Composition du 2e semestre série S2 - 2024-2025

Exercice 1 :
 
On considère dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $(E)$ :  

$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)z-10\left(1+\mathrm{i}\right)=0$

1. a. Déterminer les racines carrées du complexe $Z=5-12\mathrm{i}$

b. Montrer que $(E)$ admet une solution imaginaire que l'on déterminera.  
c. Déterminer $\alpha$ et $b$ tels que : 

$z^{3}-\left(1+2\mathrm{i}\right)z^{2}+3\left(1+\mathrm{i}\right)-10\left(1+\mathrm{i}\right)=\left(z+2\mathrm{i}\right)\left(z^{2}+ az+b\right)$
   
d.  En déduire la résolution de $(E)$ dans $\mathbb{C}$
       
2. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$ ; on considère les points $A\left(-1+3\mathrm{i}\right)$

$B\left(-2\mathrm{i}\right)$, $C\left(2+\mathrm{i}\right)$$ et $D\left(\sqrt{3}+\mathrm{i}\right)$

a. Déterminer le module et un argument de $z_{D}=\sqrt{3}+\mathrm{i}$
   
b. En déduire une construction géométrique du point $D$ dans $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
  
c. Placer les points $A$,$B$ et $C$ dans le repère précèdent.             

d. Calculer $\dfrac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}$puis montrer que $ABC$ est rectangle isocèle en $C$
   
3. Soit $R$ la rotation de centre $D$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}\left[2\pi\right]$
 
a. Vérifier que l'écriture complexe de $R$ est $z'=\left(\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}\right)z+\sqrt{3}-\mathrm{i}$

b. Construire $E=R(B)$ puis montrer que l'affixe de $E$ est $2\left(\sqrt{3}-\mathrm{i}\right)$
 
4. Soit $S$ l'application du plan complexe dans lui-même telle que $S=h\circ R$ où $h$ est                  
l'application d'écriture complexe : $z'=4z-3\sqrt{3}-3\mathrm{i}$

a. Déterminer l'écriture complexe de $S$
 
b. En déduire que $S(D)=D$ puis donner la nature et les éléments caractéristique de $S$

c. Montrer que la forme analytique de $S$ est  

$\left\lbrace\begin{array}{rcl}x'&=&2x-2y\sqrt{3}+\sqrt{3}\\y'&=&2x\sqrt{3}+2y-7\end{array}\right.$

d. Déterminer l'affixe du point $F$ image de $E$ par $S$
     
Exercice 2 : 

Pour un bon approvisionnement en matières premières, le directeur d'une société spécialisée dans l'achat et la transformation de produits agricoles avait contacté trente paysans d'un village.
  
A l'issue de leurs discussions, cinq paysans ont accepté de cultiver le mil, quinze l'arachide et le reste 
le sorgho. 

Pour des raisons liées à un déficit pluviométrique, les récoltes n'ont pas été toutes bonnes. Ainsi pour le mil, on avait obtenu $70\%$ de bonnes récoltes tandis que pour l'arachide et le sorgho, les pourcentages de bonnes récoltes étaient respectivement de $90\%$ et $80\%$
                                                                     
1. Quelle est la probabilité pour qu'un paysan choisi au hasard ait eu de bonnes récoltes ?        

2. Les récoltes étaient bonnes ; quelle est la probabilité pour que le paysan ait cultivé du mil ? 
                                                                                                                             
3. Après les récoltes, on avait interrogé au hasard $10$ paysans dans les même conditions. 

On définit $X$ la variable aléatoire qui associe le nombre de paysans dont les récoltes ont été bonnes. 

a. Définir la loi de probabilité de $X$                                                                         

b.. Calculer la probabilité pour qu'au moins un paysan ait eu de bonnes récoltes   

c. Calculer $E(X).$

Interpréter le résultat. 

Problème 

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $g(x)=2x\ln-2x+4$

1. Étudier les variations de $g$ puis établir son tableau de variation.                                  

2. En déduire le signe de $g(x)$ sur $]0\ ;\ +\infty[$
                                                                   
Partie B : 

On considère la fonction $f$ définie par 

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{2x-4}{\ln x}&\text{ si }&x&>&0\\ f(x)&=&\dfrac{2}{x}\mathrm{e}^{1+\dfrac{1}{x}}&\text{ si }x&<&0\\ f(0)&=&0 \end{array}\right.$

On note $C_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$ unité graphique $1\,cm$
 
1. Déterminer le domaine de définition $f$
                                                                           
2. Calculer les limites aux bornes.                                                                                         

3. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $0$

Interpréter les résultats                           

4. Étudier les branches infinies à $C_{f}$
                                                                                   
5. $\alpha$ Montrer que si $x>0$ ; on a $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x\ln^{2}(x)}$

Préciser le signe de $f'(x)$
                  
b. Calculer la dérivée $f'(x)$ pour $x<0$ puis étudier son signe.                                   

c Établir le tableau de variation de $f$
                                                        
6. Tracer $C_{f}$ en précisant le point d'intersection entre $C_{f}$ et l'axe des abscisses. 
                    
Partie C : 

Soit $h$ la restriction de $f$ sur $I=]1\ ;\ +\infty[$

1. Montrer que $h$ admet une bijection réciproque notée $h^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à préciser 

2. Étudier la dérivabilité de $h^{-1}$ en $O$

3. Tracer $C_{h^{-1}}$ dans le même repère.