Composition du premier semestre 1S2 2024-2025

Exercice 1

A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $-2x+1=\sqrt{x^{2}+5}$

b. $x+1>\sqrt{x(x-1)}$

B. Soit $P(x)=ax^{4}+bx^{3}-4x^{2}-3x+c$

1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que

$P(x)$ est divisible par $(x+1)(x+2)(x-1)$

2. En admettant que $a=2$ ; $b=3$ et $c=2$ donner une factorisation complète de $P(x)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P\left(x^{2}-1\right)=0$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $3\,cm$

On considère les points $I$ barycentre de $(A\;,1)\ ;\ (C\;,2)$ et $G$ barycentre de $(A\;,1)\ ;\ (B\;,3)\ ;\ (C\;,2)$

1. Construire le point $I$

2. Montrer que $G$ est le milieu de $[BI]$

3. On considère l'application $f$ du plan dans $\mathbb{R}$ définie par $f(M)=MA^{2}+3MB^{2}+2MC^{2}$

a. Montrer que $f(m)=6MG^{2}+f(G)$

b. Calculer $AG^{2}$ et $f(A)$

En déduire que $f(G)=\dfrac{33}{2}$

c. Déterminer puis construire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $f(M)=\dfrac{141}{2}$

Exercice 3

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\dfrac{1+x}{1+|x|}$

1. Justifier que $f$ est bien une application

2. Calculer les images de $-1.0$ et $1$ par $f$

$f$ est-elle injective ? Justifier

3. Résoudre l'équation $f(x)=2$

$f$ est-elle surjective ?

4. Soit $g$ la restriction de $f$ à l'intervalle $[0\ ;\ +\infty]$

Justifie que $g(x)=1$

5. La courbe suivante est la représentation graphique de $h$, restriction de $f$ à $[-1\ ;\ 1]$

Déterminer graphiquement :

a. Les images de $-1.0$ et $\dfrac{1}{2}$ par $h$

b. Les antécédents de $1$ par $h$

c. Les images directes de $[-1\ ;\ 0]$ et $[0\ ;\ 0]$

d. L'image réciproque de $]0\ ;\ 1[$