Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
1.a. Calculer le module et un argument de $1+i\sqrt{3}$
b. En déduire la forme algébrique de : $\left(1+i\sqrt{3}\right)$
2. On considère le polynôme $P$ défini par :
A On donne le nombre complexe $u=3+3i$
1. Mettre $u$ sous forme exponentielle.
2. Montrer que $u^{3}=-54+54i$
3. a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^{3}=1$ (on donnera les solutions sous forme exponentielle).
A. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $-2x+1=\sqrt{x^{2}+5}$
b. $x+1>\sqrt{x(x-1)}$
B. Soit $P(x)=ax^{4}+bx^{3}-4x^{2}-3x+c$
1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ sachant que
$P(x)$ est divisible par $(x+1)(x+2)(x-1)$
2. En admettant que $a=2$ ; $b=3$ et $c=2$ donner une factorisation complète de $P(x)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P\left(x^{2}-1\right)=0$
Donner le numéro de la question et indiquer la bonne réponse (sans réponse)
Exercice 1
Répondre aux questions suivantes :
1. Rappeler le théorème des valeur intermédiaires
2. Rappeler le théorème de la bijection
3. Soit $f : 1\rightarrow\,j$ une bijection, $x_{0}\in I$ et $t$ $y_{0}\in j$ tel que $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$
1. La premier sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ qui s'annule en $0$ est :
a. $F=8\sqrt{x^{2}+x}$
b. $F(x)=2-2\sqrt{x^{2}+1}$
c. $F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-1$
2. Une écriture trigonométrique du nombre complexe $z=\left(-\sqrt{3}+l\right)^{3}$ est :
Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays.
Don intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_{A}=-3i$, $z_{B}=-2$ et $z_{C}=1+2i.$
a. Déterminer le module et un argument du quotient $\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}$
b. En déduire la nature du triangle $ABC$
Pour chaque question, une et une seule des quatre propositions est exacte. Donner la bonne réponse.
Barème par réponse : réponse correcte $0.5$ point, absence de réponse $0$ point.
Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $A$, $B$ et $B$ sont trois points d'affixes respectives : $$Z_{A}=-2+i\ ;\ Z_{B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\text{ et }Z_{C}=-1+i\sqrt{3}$$
Soit l'équation $(E)\ :\ z^{3}+(1-8i)z^{2}-(23+4i)z-3+24i=0$
1.a. Montre que $3i$ est une solution de $(E)$
b. Résoudre dans $C$ l'équation $(E)$
2. dans le plan rapporté a un repère orthonormé on considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $1+2i\;,3i$ et $-2+3i$
soit $D$ le barycentre des points pondéré $(A\;,1)$, $(B\;,-1)$ et $(C\;,1)$