Épreuve bac 2eme groupe - S2 2024

Exercice 1

Une entreprise sénégalaise effectue un don d'engrais (en milliers de kilogrammes) à la culture d'arachide dans cinq régions du pays.

Don intention est de tester l'efficacité de son engrais par rapport à la production (en milliers de tonnes) obtenue.

Le tableau ci-dessous représente la production d'arachide $\left(y_{i}\right)$ en fonction de la quantité d'engrais $\left(x_{i}\right)$ utilisée. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&6&8&9&10&12\\ \hline y_{i}&10&14&15&18&20\\ \hline \end{array}$$

A l'aide des informations ci-dessus et des outils mathématiques au programme :

1. La production d'arachide obtenu est -elle fortement corrélée à la quantité d'engrais utilisée ? Justifier la réponse.

2. donner une estimation de la production si le don d'engrais s'élève à $20$ (en milliers de kilogramme).

Exercice 2

Un dé truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$ est tel que face mes faces $1$ et $6$ ont la même probabilité de sortie et apparaissent deux fois plus que les autres faces. 

On note $P_{i}$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $\mathrm{i}.$

1. Montrer que $P_{1}=\dfrac{1}{4}$

2. En déduire $P_{2}\;,P_{3}\;,P_{4}\;,P_{5}\text{ et }P_{6}.$

3. Soit $A$ l'évènement << obtenir un nombre pair >>.

Calculer la probabilité de $A$

4. On lace $10$ fois de suite ce dé.

Les résultats des lancers étant indépendants, déterminer la probabilité d'obtenir $6$ fois un nombres pair.

Exercice 3

On désigne par $f$ une fonction non constante, positive et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} (f(x))^{2}-\left(f'(x)\right)^{2}&=&1\;,\forall x\in\mathbb{R}\\ f'(0)&=&0 \end{array}\right.$

1. Calculer $f(0)$

2. Montrer que pour tout réel $x\;,f"(x)=f(x).$

3. On pose $k(x)=f'(x)+f(x)$ et $j(x)=f'(x)-f(x)$

a. Calculer $j(0)$ et $k(0)$

b. Montrer que pour tout réel $x\;,k'(x)$ et $f'(x)=j(x)$

c. En déduire l'expression algébrique de $k(x)$ et $j(x)$ puis montrer que $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$