Composition du premier semestre TS2 - 2025

Exercice 1

1. La premier sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ qui s'annule en $0$ est :

a. $F=8\sqrt{x^{2}+x}$

b. $F(x)=2-2\sqrt{x^{2}+1}$

c. $F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-1$

2. Une écriture trigonométrique du nombre complexe $z=\left(-\sqrt{3}+l\right)^{3}$ est :

a. $x=8\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]$

b. $z=8\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right]$

c. $z=8\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+ i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$

3. Si $z$ est un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi}{3}$, alors $\left(\sqrt{3}+i\right)^{2}\overline{z}$ a pour argument :

a. $\pi$, b. $\dfrac{\pi}{z}$, c. $O$

4. Si $P$ et $Q$ sont deux points distincts d'affixes respectives $2i$ et $1-i$ alors l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ différente de $1-i$ tel que $\left|\dfrac{z-2i}{z-1+i}\right|=1$ est

a. La droite $(PQ)$

b. le cercle de diamètre $[PQ]$

c. La médiatrice du segment $[PQ]$

5. La limite en $O$ de $f(x)=\dfrac{x\tan x}{1-\cos x}$ est égale à :

a. $-2$ b. $\dfrac{1}{2}$ c. $2$

Exercice 2:

1. Montrer que le complexe $\delta=6-4i$ est une solution de l'équation : $z^{2}=20-48i$

2. Considérons les polynômes complexes $P$ et $Q$ définis par :

$P(z)=z^{3}-(4-3i)z^{2}-z-36-3i$ et $Q(z)=z^{2}-4z-1+12i$

a. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $Q(z)=(z+3i)Q(z)$

c. Déduire des questions précédents les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation : $P(z)=0$

3. Le plan étant muni d'un repère orthonormal, on donne les points $A(5-2i)$ ;

$B(-1+2i)$ ; $C(-3i)$ et $D(3+8i)$

a. Déterminer l'écriture algébrique du complexe $\dfrac{z_{C}-z_{A}}{z_{C}-z_{B}}$

En déduire la nature du triangle $ABC$

b. En justifiant, déterminer du quadrilatère $ADBC$

4. A tout complexe $z\neq -3i$, on associe le complexe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z+1-2i}{ix-3}$

On désigne par $M$ le points d'affixe $z.$

$M$ le point d'affixe $z$

a. Vérifier que $z'=i\left(\dfrac{z+1-2i}{z+3i}\right)$

Démontrer alors que arg$\left(z'\right)=-\dfrac{\pi}{2}+\left(\overrightarrow{CM}\ ;\ \overrightarrow{BM}\right)$

b. Déterminer et construire l'ensemble $(\varepsilon)$ des points $M(z)$ tel que $arg\left(z'\right)=k\pi\;,k$ étant un entier relatif

Problème

Partie A :

Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x^{3}+3x-1$

a. Dresser le tableau e variation de $u$

b. Montrer que l'équation $u(x)=1$ admet un solution unique $\alpha$ et et que $0<\alpha <1$

c. Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ prés

d. En déduire le signe de $u(x)=-1$ sur $\mathbb{R}$

Partie B :

Soit $f$ la fonction définie par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{2\left(x^{3}+1\right)}{x^{2}+1} \text{ si }x<1 \\f(x)&=&1+\sqrt{2x-1}\text{ si }x\geq 1 \end{array}\right.$

On désigne par $(Cf)$ la courbe de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ d'unité graphique $2\,cm$

1. Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de $f$ en $1$

3. Écrire une équation de la tangente $(T)$ à $(Cf)$ au point $A(1.2)$

4. Étudier la position relative de $(Cf)$ par rapport à $(T)$

5.a. Montrer que pour tout $x\in\left]-\infty\ ;\ 1\right[\;,f'(x)=\dfrac{2\times\left[u(x)-1\right]}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$

b. Calculer $f'(x)$ pour $x\in[1\;,+\infty[$

c. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$

d. Dresser le tableau de variation de $f.$

6. a. Étudier les branches infinies de $(Cf)$