Composition d'académie de Dakar série S1 -2024-2025

Épreuve mathématique 

Exercice 1

1. Étudier suivant les valeurs de l'entier naturel $n$ le reste de la division euclidienne de $5^{n}$par $7$
                                                                                                                                   
2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $S_{n}=1+5+5^{2}+\ldots+5^{n}$

a. Montrer que $4S_{n}=5^{n+1}-1$
                                                                
b. Soit $\alpha$ un entier naturel , montrer que $4S_{n}\equiv\alpha [7]$ si et seulement si $S_{n}=3\alpha[7]$

c. En déduire le reste de la division euclidienne de $S_{2025}$ par $7$
               
3. Soit $n$ un entier naturel.

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ les équations $\left(_{0}\right)\ :\ 5^{n}x-S_{n}y=0$ et  $(E)\ :\ 5^{n}x-S_{n}y=7$

a. Justifier que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $5^{n}$ et $S_{N}$ sont premiers entre eux.                                

b. Résoudre $\left(E_{0}\right)$                                                                                                               

c. Montrer que les solutions de $(E)$ sont les  couples $(x\;,y)$ tels que : 

$x=35+kS_{n}$ et $y=28+k\cdot 5^{n}$ avec $k\in\mathbb{Z}$

4. En déduire les solutions dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $(E)25x-31y=7$
 
5. On dispose d'un dé parfait numéroté de $1$ à $6$ et d'une urne contenant $12$ boules indiscernables au toucher dont $9$ rouges et $3$ vertes. 

On lance le dé deux fois de suite et on note $x$ le premier résultat et $y$ le deuxième, 

$-\ $si on obtient une solution de l'équation $(E)$, alors on tire simultanément $3$ boules de 
l'urne.
 
sinon, on tire successivement sans remise $3$ boules de l'urne

Soit $\mathbb{R}$ l'évènement : « obtenir exactement une boule rouge ». 

a. Calculer $P(R)$                                                                                                                                                                                                                                                    

b. On a obtenu exactement une boule rouge, quelle est la probabilité pour que le couple $(x\;,y)$ soit solution de l'équation $(E)$           

                                                                                      
Exercice 2

Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral $ABC$ tel que $\left(\overrightarrow{AB}\;,\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}\left[2\pi\right]$

On désigne par $r_{C}$, $r_{B}$ et $r_{C}(D)$ les rotations d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ et de centres respectifs $C$, $B$ et $A.$

On note $D=r_{B}(A)$ et $E=r_{c}(D)$

1. Monter que $r_{C}^{\circ}r_{B}^{\circ}r_{A}$ est le symétrie centrale de centre $B.$

En déduire la position de $E.$
                                                                                                   
2. On admet qu'il existe une similitude directe plane $S$ de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ qui transforme $A$ en $B$
 
Calculer le rapport $\dfrac{BD}{AE}$ ainsi qu'une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AE}\;,\overrightarrow{BD}\right)$

En déduire l'image de $E$ par $S.$

3 On désigne par $\Omega$ le centre de $S.$

Montrer que $\Omega$ appartient aux cercles circonscrits aux triangles $ABC$, $BDS$ Construire $\Omega$
                                                                                                                                          
4. a. Déterminer l'image de la droite $(AC)$ par $S$
                                                                                              
b. Démontrer que l'image par $S$ du cercle circonscrit au triangle $ACE$ est le cercle de diamètre $[BD]$

En déduire que l'image de $C$ par $S$ est le point $I$ milieu de $[DE]$

Problème :
 
Partie A : 
 
Soit la fonction $f$ la fonction définie sur $[0\;,+\infty[$ par : $f(x)=\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)\ln x$ si $x> 0$ et $f(0)=0$

On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$
 
1. a. Montrer que $f$ est continue à droite en $0.$

b.  Étudier la dérivabilité de $f$ à droite en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
                                                                  
2. Soit $g$ la fonction définie sur $]0\;,+\infty[$ par $g(x)=\mathrm{e}^{x}-1+x\ln x$
 
a. Étudier la dérivabilité de $g$ sur $[0\;,+\infty[$ montrer que l'équation $g'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha\in]0\;,1\ ; 0\;,2[$

b. En déduire le signe de $g'$  sur $]0\;,+\infty[$

3. a. Dresser le tableau de variations de $g.$
                                                                              
b. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\beta\in]0\;,3\ ;\ 0\;,31[$

4. a. Montrer que $\forall x\in]0\;,+\infty[\;,f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x\mathrm{e}^{x}}$
 
b. Dresser le tableau de variations de $f$
                                                                           
c. Tracer $(C)$ $\text{(on prend }\beta=0.3)$

Partie B :
 
Soit $\lambda\in]0\;,1[$

On pose $A(\lambda)=\int_{\lambda}^{1}f(t)dt$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,I_{n}(\lambda)=\int_{\lambda}^{1}t^{n}\ln t dt$

1.a $A$  l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_{n}(\alpha)$
 
b. Montrer que : $\lim\limits_{n\longrightarrow\;,+\infty}I_{n}(\lambda)=\dfrac{-1}{(n+1)^{2}}$

2.  Pour tout $t\in[0\;,1]$ ,on pose : $ \varphi_{0}(t)=1$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\varphi_{n}(t)=1-\dfrac{t}{1!}+\dfrac{t^{2}}{2!}-\ldots+\dfrac{(-t)^{n}}{n!}$

a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\varphi_{n+1}(t)=-\varpi_{n}(t)$ 

b. En déduire que pour tout $x\in[0\;,1]$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\int_{0}^{x}\varphi_{n}(t)dt=1-\varphi_{n+1}(x)$

c. Soit $t\in[0\;,1]$ 

Montrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\varphi_{2n+1}(t)\leq\mathrm{e}^{-t}\leq\varphi_{2n}(t)$

d. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k}}{k!}I_{k}(\lambda)\leq A(\lambda)\leq\sum_{k=1}^{2,+1}\dfrac{(-1)^{k}}{k!}_{k}(\lambda)$ 

3. Soit $A$ l'aire de la partie limitée par $(C)$ et les droites d'équations : $x=0$, $x=1$ et $y=0$
         
a. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $f$ $[0\;,+\infty[$ 

Exprimer $A(\lambda)$ en fonction $F(\lambda)$

b.  En déduire que  $\lim\limits_{\lambda\longrightarrow\;,0^{+}}(\lambda)=A$

c. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k}}{(k+1)(k+1)!}\leq A\leq\sum_{k=1}^{2n+1}\dfrac{(-1)^{k}}{(k+1)(k+1)!}$

d. Donner un encadrement de $A$ d'amplitude inférieure à $10^{-3}$