Composition du second semestre TS1 - 2024-2025

Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on pose : $A_{n}\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\mathrm{e}^{-x}dx\;, A_{0}=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{-x}dx$ et $U_{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}$

1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;, 0\leq A_{2}\leq\dfrac{1}{n!}$ et en déduire $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}A_{n}$

b. A l'aide d'une intégration par parties montrer que pour tout $A_{n}=A_{n-1}-\dfrac{\mathrm{-e}^{-1}}{n!}$
c.Exprimer alors $U_{u}$ en fonction de $A_{n}$ puis démontrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow +\infty}U_{n}=\mathrm{e}$

2. Pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}$, on considère la fonction $g_{n}$ définie sur $[0.1]$ par:
$g_{x}(x)=\mathrm{e}^{x}-1\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k!}$ et on pose $g_{0}(x)=\mathrm{e}^{x}-1$

a. Montrer que pour tout $x\in[0\ ; 1]$ est positive et croissante.

b. Montrer que $g_{1}$ est dérivable sur $[0\ ;\ 1]$ et que $g^{'}_{1}(x)$

En déduire $g_{1}$ est croissante et positive. 

c. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$ la fonction $g_{n}$ est positive et croissante.

3. On pose: $I_{n}=\int_{0}^{1}\dfrac{x^{n}}{n!}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)dx$, $I_{0}=\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)dx$ et $I=\int_{0}^{1}\mathrm{e}^{x}\left(^{x}*\mathrm{e}^{-x}\right)dx$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$

$S_{n}=I_{0}+I_{1}+\ldots+I_{n}=\sum_{k=0}^{n}I_{k}$

a. Montrer que $I-S_{n}=\int_{0}^{1}\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right)g_{n}(x)dx$

b. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,0\leq I-S_{n}`\leq\left(\mathbb{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-1}\right)\left(\mathrm{e}-U_{n}\right)$

c. Déterminer alors la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$

Exercice 2:

Un élève se rend à son lycée en bus.

S'il est à l'heure à l'arrêt, il prend le bus de ramassage gratuit mis à sa disposition par une entreprise basée dans sa localité,dans le cadre de la responsabilité
sociétale des entreprises $(RSE)$

S'il est en retard,il prend un autre moyen de transport.

On suppose
que l'élève n'est pas en retard le premier jour.

A partir du deuxième jour:

$\bullet\ $ si l'élève est à l'heure un jour donné,la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\dfrac{1}{5}$

$\bullet\ $ s'il est en retard un jour donné,la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\dfrac{1}{20}$

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $2$ :on appelle $R_{n}$ l'événement:« l'élève est en retard 
le $n^{\text{ième}}$ jour »,et $\overline{R_{n}}$ l'évènement contraire de $R_{n}$

On note $P_{n}$ la probabilité de $R_{n}$

On suppose que $P_{1}=0$ et $P_{2}=\dfrac{1}{5}$

Dans tout ce qui suit,on prend $n\geq 2$

1. Déterminer les probabilités: $P\left(R_{n+1}/R_{2}\right)$ et $\left(R_{n+1}/\overline{R}_{n}\right)$

2. Montrer que: $P_{n+1}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{20}P_{n}$

3. On pose $v_{n}=p_{n}-\dfrac{4}{23}$

a. Démontre que $\left(v_{n}\right)_{n\geq 2}$ est une suite géométrique, on précisera sa raison et son premier terme.

b. Exprimer $v_{n}$ et $p_{n}$ en fonction de $n$

c. Calcule la limite de la suite $\left(p_{n}
\right)$

Exercice 3:

Le plan affine $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\ ;\ I\ ;\ J)$(unité graphique $2\,cm$). 

A tout point $M$ de coordonnées $(x\ ;\ y)$, on associe le nombre complexe $z=x+iy$

Partie A
 
On appelle $(C)$,l'ensemble des points $M$ du plan dont les coordonnes vérifient: 

$8(x+y)^{4}+36(x-y)^{3}+36(x-y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0$

Et on considère l'application $f$ du plan dans le plan ; qui à tout point $M$ d'affixe $z=x+iy$ associe le
point $M'$ d'affixe $Z=X+iY$ avec $\left\lbrace\begin{array}{rcl} X&=&x-y+1\\ Y&=&x+y \end{array}\right.$

1. Montre que $f$ admet un unique point invariant noté $M_{0}$ dont on précisera les coordonnées.

2.a. Exprimer $M_{0}M'$ en fonction de $M_{0}M$

b. Montrer que pour tout point $M$ du plan,la mesure principale de $\left(\overline{M_{0}M}\;,\overline{M_{0}M'}\right)$

3. Montrer que l'écriture complexe de $f$ est: $\left(Z51+\mathrm{i}\right)z+1$

4. On désigne par $\Gamma$ l'image de $C$ par $f$

a. Démontrer qu'une équation de $\Gamma$ est $y^{4}=9\left(x^{2}-1\right)^{2}$

b. En déduire que $\Gamma$ est la réunion de deux coniques $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ (on notera $\Gamma_{1}$ la conique dont l'excentricité est la plus petite).
 
c. Construire $\Gamma$ dans le repère $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

d. Calculer en $cm^{3}$le volume $V$ engendré par la rotation de $\Gamma_{1}$ au tour de l'axe des abscisses.

Partie B

Soit $g$ l'affinité orthogonale d'axe $\left(xx'\right)$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Soit $\Gamma_{1}'$

l'image de $\Gamma_{1}$ par $g$

1. A. Montrer que l'expression analytique de $g$ est: $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x'&=&x\\ y'&=&\dfrac{\sqrt{3}}{3}y \end{array}\right.$

4. Monter que $\Gamma_{1}^{'}$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$

5. Construire $\Gamma_{1}^{'}$ dans le repère précédent

On note par la suite $\Psi_{1}$ la partie du plan constituée des points d'ordonnées positives et limitée par
$\Gamma_{1}^{'}$ et l'axe des abscisses(

2. Soit $\alpha$ un réel de $[0\ ;\\pi]$

On note $P_{\alpha}$ le demi-plan formé des points $M(x\ ;\ y)$ vérifient $y\cos\alpha-x\sin\alpha\leq 0$

a. Vérifie que le point $I(1\ ;\ 0)$ appartient à $P_{\alpha}$

b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Gamma_{1}^{'}$ avec la droite d'équation $y\cos\alpha-x\sin\alpha=0$

3. On note $A(\alpha)$ l'aire, exprimée en $cm^{2}$, de $P_{\alpha}\cap\psi_{1}$

4. Démontrer que, pour tout $\in\left]\dfrac{\pi}{2}\;,\pi\right]\;,A(\alpha)=A\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin(2\alpha)-4\int_{0}^{\cos(\alpha)}\sqrt{1-x^{x}}dx$

(On admet que l'expression de $A(\alpha)$ est vraie pour $\alpha\in\left[0\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$)

5 Soit $H(\alpha)=\int_{0}^{\cos(\alpha)}\sqrt{1-x^{x}}dx$

Montrer que la dérivée $H'(\alpha)$ de $H(\alpha)$ est $H'(\alpha)=-\sin^{2}(\alpha)$

6. Démontrer que la fonction qui à tout $\alpha$ associe $A(\alpha)$ est dérivable sur $[0\ ;\ \pi]$ puis calculer 
dérivée sur $A'(\alpha)$

7. En déduire, pour tout $\alpha\in[0\ ;\ \pi]$ l'expression de $A(\alpha)$ en fonction de $\alpha$