Exercice 1
NB : Les questions $1$, $2$, $3$ et $4$ de cet exercice sont indépendantes
1. Écrire $A$ le plus simplement possible, sans radical ni valeur absolue :
$A=\sqrt{\left(6-\sqrt{5}\right)^{2}}+\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}+\left|3-\sqrt{5}\right|$
2. Écrire $B$ sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}$ où $m$, $n$, $p$ sont dans $\mathbb{Z}$ :
Pour chaque item, choisis la bonne réponse.
Une bonne réponse rapporte $1$ points
1. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
b. En déduire les solutions de l'équation :
$\left(\sqrt{x+1}\right)^{3}-6\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}+11\sqrt{x+1}-6=0$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&1\\ -x+3y&=&1
\end{array}\right.$
2. Résoudre par le méthode du pivot de Gauss le système suivant :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+2z&=&5\\ 2x+2y-z&=&3\\ -x+3y+z&=&8 \end{array}\right.$
Soient $ABC$ un triangle tels que : $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$ et $I$ un point du plan tel que : $B=\text{bar }{(A\;,1)}$ ; ${(I\;,-1}$ ; ${(C\;,2)}$
Pour tout point $M$ du plan, on définie l'application $g(M)=MA^{2}-3\,MB^{2}+3\,MC^{2}$
1. Calculer $AI^{2}$,$BI^{2}$ et $CI^{2}$
2. Exprimer $g(E)$ en fonction de $MI$, $a$, $b$ et $c$
Les questions $1.2.3$ et $4$ sont indépendantes
1.a. Donner la forme algébrique de $\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{3}$
b. Déterminer dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=4\sqrt{2}\left(-1-\mathrm{i}\right)$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
Pour chacune des questions dans le tableau ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ sont proposées dont une seule est correcte.
Pour répondre tu porteras le numéro de la question suivi de la lettre correspondante à la réponse choisie puis tu justifies ton choix.
Chaque réponse correcte est noté
I résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}$
b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
Donner le numéro de la question et indiquer la bonne réponse (sans réponse)
Préciser la nature et l'équation l'asymptote obtenue à partir des résultats suivants :
1. $\lim\limits_{x->3^{-}}f(x)=+\infty$
2. $\lim\limits_{x->+\infty}f(x)=-2$
3. $\lim\limits_{x->-\infty}[f(x)-(x+4)]=0$
Soient $f$ et $g$ les application définies par :$f(x)=-2x^{2}+7$ et $g(x)=2x+1$
1. Déterminer $f\circ f(x)$
2. Calculer $g\circ f(2)$