I. Etude de la fonction logarithme exponentielle

1. Définition et notation

La fonction exponentielle notée $exp$ est une fonction qui est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, qui est
égale à sa fonction dérivée et qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

Autrement dit image de tout réel $x$
par la fonction exponentielle est le réel strictement positif noté $exp(x)$.

 on lit exponentielle de $x$.

$\bullet$ La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in\mathbb{R},(exp)'(x)=exp(x)$ .

2. Remarque

$\bullet $On admet que pour tout $x\in\mathbb{R}exp(x)=e^{x}$ ou est l'unique réel strictement positif tel que $ln e=1$
et dont une valeur approchée est$e\approxeq 2,718$ .

$\bullet e^{ 0}=1$ et $ e^{ 1}=e$

3. Propriétés

i. Pour tout $x\in\mathbb{R}e^{ x}>0$ .

ii. Pour tout  $x\in\mathbb{R} ln\left(e^{ x}\right)=x$ .

iii. Si $x>0$ alors on a $e^{lnx}=x$:

iv. Si $x>0$ et si $y\in\mathbb{R}$ alors on a  : $ln x=y\Leftrightarrow x=e^{y}$.

Excercice d'application

1. Simplifier autant que possible le nombre suivant : $A=ln\left(e^{3}\right)+e^{ln5}-ln\left(e^{2}\right)+e^{ln3}$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations $lnx=-2;e^{x}=2$ et $(lnx)^{2}-1=0$ .

4. Autres propriétés

$e^{x-y}=e^{x}e^{y}$

$e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}$

$e^{r-y}=\dfrac{e^{x}}{e^{y}}$

Si $r$l est un nombre rationnel alors on a :$e^{rx}=\left(e^{r})x\right)$

5. Représentation graphique

Soit $f$ la fonction telle que $f(x)=e^{x}$

a. limites aux bornes

$D_{f}=\left]-\infty ; +\infty\right[$

$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}f(x)= \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}e^{x}=0$

$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f(x)= \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}e^{x}=+\infty$

b. Branches infinies

$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}e^{x}=0$
donc la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses)est une asymptote horizontale de $C_{f}$ en $\infty$

$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,a}\dfrac{e^{x}}{x}=0$ donc l'axe des ordonnées  est une branche parabolique de $C_{f}$ en $-\infty$ .

c. Dérivée et sens de variation

$f$ est dérivable sur et pour tout$x\in \mathbb{R},f'(x)=e^{x}$ .

Or pour tout$x\in \mathbb{R},e^{x}>0$ donc $f'(x)>0$ d'ou $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

d. Tableau de variation

Le tableau suivant est celui des variations de $f$.

e. Courbe représentative de la fonction exponentielle

Equations des tangentes aux points d'abscisse $0$ et $1$

L'équation de la tangente $(T)$ à $C_{f}$ au point d'abscisse $0$ est $(T):y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+1$.

L'équation de la tangente (T') à $C_{f}$ au point d'abscisse $1 (T'):y=f'(1)(x-1)+f(1)=e(x-1)+e=ex$

Tableau de valeurs

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x &0& 1& 2& 2,5\\
\hline
f(x)&1& e& 7,4& 12\\
\hline
\end{array}$$

Courbe

II. Equations et inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle

1. Equations

Propriétés

Si $x$ et $y$ alors $e^{x}=e^{y}\Leftrightarrow x=y$

Equations du type $e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$

Si $u(x)$ et $v(x)$ sont des expressions bien définies alors on a $e^{u(x)}=e^{v(x)}\Leftrightarrow u(x)=v(x)$

Exemple :

Résolvons dans $\mathbb{R}$les équations suivantes$ e^{x-2}=e^{-x+3}$ et $e^{x^{2}}=e^{-x+6}$: et

2. Inéquations

Propriétés : Soient $x$ et $y$

i.$e^{x}\geq e^{y}\Leftrightarrow x\geq y$

ii.$e^{x}\leq e^{y}\Leftrightarrow x\leq y$

iii.$e^{x}\leq y(y>0)\Leftrightarrow x\leq ln y$

iv.$e^{x}\geq y(y>0)\Leftrightarrow x\geq ln y$

NB : Les inégalités strictes ci-dessus peuvent être larges.

Exemple :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes

i.$e^{-2x+1}\leq e^{-4x+6}$

ii.$e^{x}\geq$

III.Fonction comportant l'exponentielle

1. Limites

a. Limite usuelle

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}xe^{x}=0$

b. Autres limites

Pour calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)$,on calcule d'abord $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)$

i. Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)=l$ ou $l \in\mathbb{R}$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}e^{u(x)}=e^{l}$

ii. Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}u(x)=-\infty$  alors $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}e^{u(x)}=0$

iii. Si $\lim\limits_{x\longrightarrow \,a}u(x)=+\infty$ alors $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}e^{u(x)}=+\infty$

Exemple :

Calculer les limites suivantes :

1.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{x+3}{e^{x-2}}$

2.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}e^{-3x+1} $

3.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}e^{3x+1}$ $

2. Ensemble de définition

Si $f(x)=e^{ux}$ alors $f(x)$ existe ssi $u(x)$ existe.

a) Exemple

Déterminer $D_{f}$ dans chacun des cas suivants
$\bullet f(x)=e^{2x-1}$

$\bullet f(x)=\dfrac{3x+1}{e{-2x+3}}$

3.Dérivée d'une fonction définie par $e^{u(x)}$

a. Propriété

Si $(x)=e^{u(x)}$ alors $f'(x)= u'(x)e^{u(x)}$.

b. Exemple : Calculer$f'(x)$ dans chaque cas suivant

1.$f(x)=e^{x+1}$

2.$f(x)=\dfrac{3x+1}{e{-2x+3}}$