I. Notion de suite

1. Activité

La fiche ci-dessous des prénoms, les moyennes de $4$ élèves
de la $T$ la composition du $1^{er}$ semestre.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Prénoms}&\text{Moyennes}\\
\hline
\text{Awa}& 12,5\\
\hline
\text{Baba}& 8\\
\hline
\text{Codou}& 10\\
\hline
\text{Dior}& 11\\
\hline
\end{array}$$

a. En suivant cette fiche, écrire successivement sur une ligne la liste de ces $4$ moyennes.

b. En considérant que la $1^{ère}$ moyenne de cette liste occupe le rang $0$, préciser dans, les rangs des autres moyennes.

Solution

a. -dessus, la liste de ces $4$ moyennes écrite successivement
sur une ligne est : $12,5;8;10;11$.

Exploitation

La liste ordonnée $12,5;8;10;11$ est une succession de nombres réels dite suite de
nombres réels que l'on peut noter $u$.

Ainsi on peut écrire $u:12,5;8;10;11$ .

Chaque élément de cette liste est appelé terme de la suite $u$ et peut être repéré dans la liste par son
rang.

Pour noter un terme d'une suite,on écrit le nom de la suite et on met en indice le rang de ce terme, ainsi le terme $12,5$, de rang $0$ de la suite u est noté $u_{0}=12;5$; le terme $8$ de rang $1$ est noté $u_{1}=8$ le terme $10$ de rang $2$ est noté $u_{2}=10$ et le terme $11$ de rang est noté $u_{3}=11$.

2. Définition et vocabulaire et notation

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels.

Les éléments de cette suite sont appelés termes de la suite et peuvent être repérés dans la liste par leurs rangs.

En général, pour noter une suite, on utilise les lettres $u$ ou $v$ ou $w$

Pour une suite numérique $u$,le terme de rang $n(n$ est un entier naturel quelconque)noté $u_{n}$ est aussi dit terme d'indice $n$ est appelé terme général
de la suite.

Pour une suite numérique $u$ ,l'ensemble des indices (rangs) des termes de la suite est $N={0;1;2....}$ ou sous-ensemble de $\mathbb{N}$

Pour noter une suite numérique $u$ dont on connait l'ensemble des indices de ses termes alors on met le terme général $u_{n}$ entre parenthèses puis on précise l'ensemble des indices des termes de la suite.

Par exemple on peut avoir $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$  ou $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N^{*}}}$

Remarques

$\bullet$ Lorsqu'on écrit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N^{*}}}$ alors le premier terme de cette suite est $u_{0}$, le second est $u_{1}....$

$\bullet$ Lorsqu'on écrit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N^{*}}}$ alors le premier terme de la suite est $u_{1}$, le second est $u_{2}$

3. Exemples de suites

a. Suites définies par une formule explicite :

Soit $I$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}$

Une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n\in I}$ peut être définie par une formule donnant directement le
terme général $u_{n}$ en fonction de $n$.

Dans ce cas, on dit que la suite est définie par une formule explicite.

Exemple : Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$  la suite numérique définie par $u_{n}=n^{2}+1$
Pour cette suite $u$,terme d'indice $0$ est $u_{0}=1$ le terme d'indice $1$ est $u_{1}=2$ et le terme d'indice $10$ est $u_{10}=101$ et le terme d'indice  $n-1$
 est $u_{n-1}=(n-1)^{2}+1=n^{2}-2n+2$

Exercice d'application

Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$  la suite numérique définie par $u_{n}=n^{2}-n-2$.

1. Calculer

$u_{0};u_{1};u_{2};u_{5}$ et $u_{8}$

2. Calculer $u_{n-1}$ et $$u_{n+1}$ en fonction de $n$.

Une suite numérique $\left(u_{n}\right)_{n\in I}$ peut être définie en donnant la valeur de son premier terme puis
en donnant un de ses termes généraux $u_{n+1}$ ou $u_{n}$ ou $u_{n-1}....$

Dans ce cas, on dit que la
suite est définie par une formule de récurrence.

Pour une telle suite, un terme ne peut être déterminé que si les termes qui le
précèdent sont connus.

Exemple :

Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par:
$$\left\lbrace\begin{array}{lcr}
u_{0}&=&-2\\
u_{n+1}&=&3u_{n}+7
\end{array}\right.$$

Le $1^{er}$ terme de cette suite est $u_{0}=4;u_{1}=3u_{0}+7=13;u_{2}=3u_{1}+7$ et $u_{3}=3u_{2}+7=145$

Exercice d'application

Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite numérique définie par:
$$\left\lbrace\begin{array}{lcr}
u_{0}&=&-4\\
u_{n+1}&=&2u_{n}+5
\end{array}\right.$$
Calculer $u_{1};u_{1};u_{2};u_{3};u_{4}. $ et $u_{5}$

4. Monotonie ou sens de variation d'une suite

$\bullet$ Suite croissante

Une suite  $\left(u_{n}\right)_{n\in I }$est dite croissante si pour tout $n\in I$  on a $u_{n+1}-u_{n}\geq 0$:
Exemple : Soit la suite  $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :$u_{n}=\dfrac{n^{2}-n+2}{2}$ :

Montrons que la suite  $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.

Remarque : Si $u_{n+1}-u_{n}<>0$ alors la suite  $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement croissante.

$\bullet $Suite décroissante

Une suite est dite décroissante si $u_{n+1}-u_{n}<0$ pour tout on a :

Remarque : Si $u_{n+1}-u_{n}<0$ alors la suite est strictement
décroissante.

Exemple : Soit la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ telle que :$u_{n}=-2n+5$

Montrons que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est strictement décroissante.

Etudier le sens de la variation ou la monotone d'une suite,c'est étudier si elle est croissante ou
décroissante.

5.Limite d'une suite

On peut calculer la limite d'une suite $\left(u_{n}\right)_{n\in I}$ mais uniquement lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Ainsi, on a :

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow \,+\infty} n=0;\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}n^{2}=+\infty;\lim\limits_{n\longrightarrow \,+\infty}\dfrac{-2n}{3}=-\infty$

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{1}{n}=0;\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{1}{n^{2}}=0;\lim\limits_{n\longrightarrow \,+\infty}\dfrac{1}{n^{3}}=0$

Les résultats sur les limites en $+\infty$ des fonctions restent valables avec les suites numériques.

Par exemple, on a :

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{-2n^{3}+n-1}{2n^{2}-1}=\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{-2n^{3}}{3n^{2}}=\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{-2n}{3}=-\infty$

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow \,+\infty}\dfrac{n^{3}+n-1}{3n^{3}-n+1}=\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{n^{3}}{3n^{3}}=\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

Remarque :

$\bullet$ Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est un nombre réel $l$ alors on dit
que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$  est convergente et on écrit $\lim\limits_{n\longrightarrow\,+\infty}U_{n}=L$.

$\bullet$ Si la limite d'une suite $(u_{n})_{n\neq I}$ quand tend vers $+\infty$ est $+\infty$ ou $-\infty $alors on dit que la
suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ est divergente.

II. Suites arithmétiques

1. Définition

Une suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ est dite arithmétique s il existe un réel constant $r$ tel que pour tout $n\in I ,u_{n+1}-u_{n}=r$.

Dans ce cas r est dit raison de la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$.

Exemple

Montrons que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=2n+3$ est une suite arithmétique dont
précisera la raison.

Montrons que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=-n+5$ est une suite arithmétique dont
précisera la raison.

2. Expression du terme général

Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$ alors le terme général $u_{n}$
est égal à $u_{n}=u_{0}+r\times n$.

Exemple

Donnons l'expression du terme général $u_{n}$  d'une suite géométrique $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ de premier terme $U_{0}=5$
et de raison $3$.

Propriété

Si $u_{n}$ et $u_{p}$ sont deux quelconques d'une suite arithmétique de raison $r$  alors $u_{n}+r\times (n-p)$.

Exercice d'application

Donner l'expression du terme général $u_{n}$  d'une suite géométrique $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ de premier terme $U_{1}=2$
et de raison $5$.

3. Somme des $n$ premiers termes

Nombre de terme d'une somme de termes consécutifs
 
Nombre de terme d'une somme de termes consécutifs=indice du $1^{er}$ terme de la somme-indice du dernier terme $+1$.

Par exemple, le nombre de termes de la somme des termes
consécutifs $S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+...U_{10}$ est $p+1$

La Somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique

La Somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique est donnée parle nombre de termes de la somme des termes $\dfrac{1^{er}\text{ terme}+\text{dernier terme}}{2}$

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ telle que $u_{n}=2n+3$ est une suite arithmétique, calculons :

$S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+...U_{10}$

4.Monotonie d'une suite arithmétique

Soit $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ une suite arithmétique de raison $r$.

$\bullet$Si $r>0$ alors la suite est strictement croissante.

$\bullet$ Si $r<0$ alors la suite est strictement décroissante.

III. Suites géométriques

1. Définition

Une suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$ pour tout
$n\in l, \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=q$.

Dans ce cas$ q$ est dit raison de la suite  $(u_{n})_{n\in\mathbb{I}}$.

Montrons que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=2^{n}$ est une suite géométrique dont précisera la raison.

Exemple

Montrons que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=3^{n}$ est une suite géométrique dont précisera la raison.

2. Expression du terme général

Propriété :

Si $u_{n}$ et $u_{p}$ sont deux termes quelconques d'une suite géométrique de raison $q$ alors $u_{n}=q^{n-p}\times u_{p}$.

Exemple

Donner l'expression du terme général $u_{n}$  d'une suite géométrique $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ de premier terme $U_{0}=2$
et de raison $3$.

Exercice d'application

Donner l'expression du terme général $u_{n}$  d'une suite géométrique $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ de premier terme $U_{1}=1$
et de raison $5$.

3. Somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique

La somme des $n$ premiers de raison $q$ est donnée par :

$1^{er} \text{terme de la somme} \times \dfrac{q{\text{nombre de termes de la somme}}-1}{q-1}$

Exemple

La suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=2^{n}$ est une suite géométrique de raison $2$, calculons :$S=U_{0}+U_{1}+U_{2}+...U_{10}$

4.Convergence d'une suite géométrique

Si $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q$ telle que $-1< q <1$ alors la suite$(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$
est convergente et $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}U_{n}=0$

Exemple

Montrons que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ telle que $u_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)$ est géométrique puis étudions sa
convergence.