I. Rappels

1. Activité

$(O, I, J)$ est un repère orthonormé et f est la fonction définie par .

1. Recopier et compléter tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
x& -3& -2& -1& 0& 1& 2& 3\\
\hline
f(x)&&&&&&&\\
\hline
\end{array}$$

2. Placer dans le repère $(O, I, J)$ tous les points du tableau puis les relier par
une courbe.

2. Définition

La courbe représentative d'une fonction $f$ ou la représentation graphique de $f$ dans un repére $\left(O,I,J\right)$est l'ensemble des points de coordonnées $\left(x f(x)\right)$.

Elle est notée $C_{f}$.

II. Parité et éléments de symétrie

1.Parité et éléments de symétrie

$\bullet$ Définitions

Une fonction $f$ est paire si pour tout $x\in \textit{D_{f}$ alors $-x\in \textit{D_{f}$ et $f(-x)=f(x)$ .

Une fonction $f$ est impaire si pour tout $x\in \textit{D_{f}$ alors $-x\in \textit{D_{f}$ et $f(-x)=-f(x)$ .

$\bullet$Exemple :

Etudions la parité des fonctions suivantes définies par $f(x)=x^{3}-x$

2. Éléments de symétrie :

Soit $f$ une fonction et sa courbe dans un repère orthonormé $(O, I, J), a$ et $b$ des nombres
réels.

La droite  $(D):x=a$ est un axe de symétrie de $C_{f}$ si pour tout $x\in D_{f}$ alors $2a-x)\in D_{f}$
et $f(2a-x)-f(x)=0$.

Exemple : Soit $f(x)=x^{2}-4x+7$ et $(D):x=2$ .

Montrons que la droite $(D)$
est un axe de symétrie de $C_{f}$.

$I\left(ab\right)$ est centre de symétrie de $ C_{f}$ si pour tout $x\in D_{f}$ alors $2a-x\in D_{f}$ et $f(2a-c)+f(x)=2b$
.
Exemple:Soit $f(x)=\dfrac{x^{2}+x+6}{x-1}$.

Montrons que le point $I(1;3)$ est un centre de
symétrie de $C_{f}$.

III. Branches infinies

1. Asymptotes

Asymptote verticale :

Soit $a$ est un nombre réel

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, a^{+}}  f(x)=\infty$ 
ou si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,1^{+}} f(x)$ alors la droite est
une asymptote
verticale de $C_{f}$ .

Exemple

$f(x)=\dfrac{2x+1}{-x+1}$.

1. Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,1^{+}} f(x)$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow\,1^{-}} f(x)$

2. En déduire que $C_{f}$
Asymptote horizontale
Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, \infty}f(x)=b$  ou $b$ est un réel alors la droite d'équation $y=b$ est une asymptote
horizontale de $C_{f}$ en $\infty$ .

Exemple

$f(x)=\dfrac{-3x^{2}+2x+1}{x^{2}-2x+3}$
 
1. Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\, -\infty}f(x)$.

2. En déduire que $C_{f}$ admet une asymptote en $-\infty$

Asymptote oblique :

Soit $f$ une fonction $(D)$ la droite d'équation $y=ax +b$

Si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f(x)-(ax +b)=0$ alors $(D)$ est une asymptote oblique de $C_{f}$ en $+\infty$ .

Exemple

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+7}{x-1}$ et $(D):y=x-3$.

Montrons que $(D)$ est une asymptote oblique $C_{f}$ en $+\infty$.

2. Branches paraboliques
$$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f(x)=\infty$ et si $\lim\limits_{x\longrightarrow\, +\infty}\dfrac{f(c)}{x}=0$ alors l'axe des abscisses est une branche
parabolique $C_{f}$ en $\infty$

Si$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}f(x)=\infty$ et si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{f(c)}{x}=\infty$ alors l'axe des ordonnée est une branche
parabolique de $C_{f}$ en $\infty$

Exemple

$f(x)=-x^{2}+2x-1$.

Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

Etudier la branche infinie de $C_{f}$ en $\infty$ .

IV. Etude et représentation graphique de fonctions

1. Exemple

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-6}{x-1}$

1. a. Déterminer $D_{f}$

b. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_{f}$.

En déduire l'existence d'une asymptote de $C_{f}$

2. Etudier les variations de $f$.

3. Dresser le tableau de variation de $f$.

4. a. Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout$x\in D_{f}$ on a :

b. Montrer que $\left(D\right)=x+2$ est une asymptote oblique de .

c. Etudier les positions relatives de $C_{f}$ et $(D)$.

5. a Déterminer les abscisses des points d'intersections de $C_{f}$ avec l'axe des abscisses

b. Tracer les asymptotes puis $C_{f}$ dans un repère orthonormé.