1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ équation et inéquation
suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
Exercice 1
Répondre aux questions suivantes :
1. Rappeler le théorème des valeur intermédiaires
2. Rappeler le théorème de la bijection
3. Soit $f : 1\rightarrow\,j$ une bijection, $x_{0}\in I$ et $t$ $y_{0}\in j$ tel que $f\left(x_{0}\right)=y_{0}$
a. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss le système d'équations suivant :
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&750\\ 6x+4y+5z&=&3800\\ 4x+y+z&=&1500 \end{array}\right.$
Épreuve de mathématiques
Exercice 1
Choisir la bonne réponse
1. Le taux d'accroissement d'un application $f(x)$ est :
A. $\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
B. $\dfrac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}$
C. $\dfrac{x_{2}-x_{1}}{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}$
2. L'équation de la droite $(D)$ passant par $A(1\ ;\ 2)$ et $B(-1\ ;\ 3)$ est :
A. $y=x-5$ ;
B. $-x-2y+6=0$ ;
C. $-x+2y-3=0$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
On notre $A$ le point d'affixe $I$ et $B$ le point d'affixe $3+2i$
On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ distinct de $A$ et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z-1+2i}{z-1}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $-3\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq-x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
2. On considère le polynôme $|P|=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1$
1. La premier sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f\ :\ x\mapsto\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ qui s'annule en $0$ est :
a. $F=8\sqrt{x^{2}+x}$
b. $F(x)=2-2\sqrt{x^{2}+1}$
c. $F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-1$
2. Une écriture trigonométrique du nombre complexe $z=\left(-\sqrt{3}+l\right)^{3}$ est :
1. On considère les équations différentielles.
$(E)\ :\ y"-y'=2(x+2)\mathrm{e}^{x}$ et $\left(E_{0}\right)\ :\ y"-y'=0$
1. Déterminer $\alpha$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=ax(x+2)\mathrm{e}^{x}$ soit solution de $(E)$
2. Démontrer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g^{-}f$ est solution de $\left(E_{0}\right)$
$\bullet$un ensemble est une réunion d'objets distincts.
Chaque objet de l'ensemble est appelé élément de l'ensemble.
Il est souvent noté par une lettre majuscule.
$\bullet$Lorsque $E$ désigne un ensemble, $l$ et $E$ est dit cardinal de $E$ et est
noté $card(E)$.
Soit $E$ ,l'ensemble des lettres du nom de famille fall ».
La fonction exponentielle notée $exp$ est une fonction qui est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, qui est
égale à sa fonction dérivée et qui est strictement positive sur $\mathbb{R}$.
Autrement dit image de tout réel $x$
par la fonction exponentielle est le réel strictement positif noté $exp(x)$.
on lit exponentielle de $x$.