EXERCICE 1 

Soit $a, b$ et $c$ trois réels et $P (x) = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ un polynôme. 

On suppose que $P (x)$ admet trois racines $α ,β$ et $γ$.

1. a) Développer $(α + β + γ)²$ et $(αβ + βγ + γα)² $

b) Déterminer en fonction de $x, a, b$ et $c$,le polynôme unitaire $Q(x)$ ayant pour racines $α^{2},
β^{2}$ et γ²$.

2. a) Montrer que le polynôme $Q (x²)$ peut s’écrire sous la forme :
$Q (x²) = P(x) ×R(x)$ où $R (x)$ à déterminer. 

Exercice 1 :

On considère la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{\sin x − \cos x}{\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x}$

1. (a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :$\sin(2x) −\sqrt{2}\cos x = 0 $

(b) Déduire $D_{f} $

2. Montrer que pour tout $x \in D_{f} , f(x) = \dfrac{\tan x − 1}{2\sin x −\sqrt{2}}$

(a) Résoudre dans $[0; 2\pi]$ l’équation $f(x) = 0$ 

EXERCICE 1 : limite au voisinage de l’infini

Considérons la fonction définie par $f(n) Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})$.

PARTIE A

L’objectif de cette partie est de montrer que$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty}  f(n)=\dfrac{1}{2}$.

1. Montrer que $1-\dfrac{1}{k^{2}}=\dfrac{k^{2}-1}{k^{2}}=\dfrac{(k-1 )(k+1 )}{k\times k}$.

2. Montrer que $Π^{n}_{k=2} (1-\dfrac{1}{k^{2}})=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)$.

Exercice 1

Soit $P$ le polynôme de degré $3$ dont la somme des coefficients est $-24$ tel que divisé par $x^{2}+x+1$ donne $59x-47$ comme reste et est divisible par $x-5$ 

1.Expliquer pourquoi $P(x)=\left(x^{2}+x+1\right)(ax+b)+59x-47$ avec $a$ et $b$ deux réels 

2. Montrer que $P(x)=x^{3}-12x^{2}+47x-60$

3. En déduire la résolution de l'équation $\sqrt{x^{3}-8^{2}+15x+4}=2x-8$

Exercice 1

1. Soit le polynôme $P(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$ admettant trois racines $a$, $b$, et $c$ toutes différentes de $I$, où $p$ ; $r$ sont des réels.

Exprimer le réel $N=\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-b}+\dfrac{1}{1-c}$ en fonction de $p$ ; $q$ et $r$

2. Soit $Q(x)$ un polynôme divisible par $(x+1)$ et par $(x-2)$ et dont le reste de la division euclidienne par $(x-1)$ est $-2$

Exercice 1

A. Soit $P(x)=x^{4}+ax^{2}+42x+40$

1. Déterminer le réel $\alpha$ sachant que $P$ admet quatre racines dont la somme des racines est égale à la somme des deux autres. 

2. Factoriser alors $P(x)0$

3. Déterminer les réels $\beta$ et $\theta$ tels que le polynôme

$Q(x)=\beta x^{4}-7x^{3}-\beta x^{2}+\theta x+6$

Exercice 1

Soit un entier $n\geq 1$

a. Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme $ax^{n+1}+bx^{n}+1$ soit divisible par $(x-1)^{2}$

b. Trouver le quotient de la division.

2. Soit $P$ un polynôme tel que $\deg(P)\leq 3$

Exercice 1

1. Soit $h$ la fonction définie par$$h\ :\ \mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}\\ x\mapsto h(x)=\dfrac{5+4x^{2}}{x^{2}+1}$$

a. Montrer que $h$ est une application

b. $h$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

c. $h$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $\sqrt{x^{2}-3}$

b. $\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-x-1}$

c. $\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-5}$

d. $\sqrt{1-x}=\sqrt{1-x^{2}}\leq 0$

2. On considère le polynôme $P(x)à=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

Calculer $P(1)$ puis résoudre dans $\mathbb{R}\;,P(x)=0$

Exercice 1

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :

a. $2x^{2}-12x-5\sqrt{10+4x-x^{2}}+12=0$ ; 

b. $\sqrt{x^{2}-2x-3}\geq 2x-3$ ;

c. $\sqrt{4x^{2}-1}<-4x$ ; 

d. $\sqrt{x+2}=mx+1$  $(m\in\mathbb{R})$