Composition du premier semestre niveau TL - 2024-2025

Exercice 1 :

Préciser la nature et l'équation l'asymptote obtenue à partir des résultats suivants :

1. $\lim\limits_{x->3^{-}}f(x)=+\infty$

2. $\lim\limits_{x->+\infty}f(x)=-2$

3. $\lim\limits_{x->-\infty}[f(x)-(x+4)]=0$

Exercice 2:

Soient $f$ et $g$ les application définies par :$f(x)=-2x^{2}+7$ et  $g(x)=2x+1$

1. Déterminer $f\circ f(x)$

2. Calculer $g\circ f(2)$

Exercice 3

On considère le polynôme $P$ défini par $P(x)=2x^{3}-9x^{2}+x+12$

1. Calculer $P(-1)$

2. Factoriser $P(x)$

3. Résoudre l'équation $P(x)=0$

4. Résoudre l'inéquation : $P(x)<0$

Problème :

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}+x-1}{x+2}$ de courbe représentative $\left(Cf\right)$

1.a Justifier que le domaine de définition de $f Df=\mathbb{R}-{-2}$

b. Calculer les limites aux bornes de $Df$

c. En déduire l'existence éventuelle d'une asymptote

c. En déduire l'existence éventuelle d'une asymptote

2.a. Montrer que la dérivée de $f$ est $f'(x)=\dfrac{x^{2}+4x+3}{(x+2)^{2}}$

b. Étudier son signe

b. Dressons le tableau de variation de $f$

3.  Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\neq 2\;,f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2}$

4.a. En déduire que le droite $(\Delta)$ d'équation $y=x-1$ est une asymptote oblique à $\left(Cf\right)$ en $+\infty$ et $-\infty$

b. Étudier la position relative de $(\Delta)$ par rapport à $\left(Cf\right)$

5. Montrer que le point $A\left(-2\ ;\ -3\right)$ est un centre de symétrie de $\left(Cf\right)$

6. Déterminer les  coordonnées des point d'intersection de $\left(Cf\right)$ avec les axes de coordonnées

7. Construire $\left(Cf\right)$ et les asymptotes

dans un même repère