Composition du premier semestre TS1 - 2025

Exercice 1

1. On considère les équations différentielles.

$(E)\ :\ y"-y'=2(x+2)\mathrm{e}^{x}$ et $\left(E_{0}\right)\ :\ y"-y'=0$

1. Déterminer $\alpha$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=ax(x+2)\mathrm{e}^{x}$ soit solution de $(E)$

2. Démontrer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g^{-}f$ est solution de $\left(E_{0}\right)$

3. Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$

II. On admet que la dérive d'ordre $n\left(n\geq 1\right)$ de $f$ s'écrit sous la forme  $f^{(n)}(x)=\left(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n}\right)\mathrm{e}^{x}$ où $a_{n}$, $b_{n}$ et $c_{n}$ sont des réels.

1. Déterminer $a_{1}$, $b_{1}$ et $c_{1}$

2. Exprimer $f^{(n+1)}(x)$ en fonction de $a_{n}$, $b_{n}$, $c_{n}$

3. En déduire que $a_{n+1}=a_{n}$, $b_{n+1}=2a_{n}+b_{n}$ et $c_{n+1}=b_{n}+c_{n}$

4. Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est arithmétique puis en déduire que $b_{n}=2n+2$

5. Montrer alors que $c_{n}=n^{2}+n$

6. En déduire l'expression de $f^{(n)}$ en fonction de $n$

Exercice 2 :

le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$

1. On considère dans $C$ l'équation $(E)\ :\ z^{2}-(2+ib)z+2ib=0$ où $b$ est un réel

1. Vérifier que $(E)$ admet une solution réelle $z_{1}$ que l'on déterminera

2. Déterminer alors l'autre solution $z_{2}$

3. On considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $2$ et $ib$ où $b$ est un nombre réel et $C$ le point du plan tel que $ABC$ un triangle isocèle en $C$ et direct

a. Déterminer l'affixe du points $C$

b. Déterminer l'ensemble des points $C$ lorsque $b$ varie dans $\mathbb{R}$

II Dans la suite on suppose que $b$ est un réel non nul et différent de $2$

1. Montrer qu'un point $M$ d'affixes $z$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si

$(2+ib)z+(-2+ib)\overline{z}=4ib$

2. Soit l'ensemble $\Delta={M(z)\in P/(2+ib)z+(2-ib)\overline{z}=0}$

a. Vérifier que $O$ est un point de $\Delta$ et que $\Delta$ est une droite perpendiculaire a $(AB)$

b. Soit $H$ le projeté orthogonale de $O$ sur $(AB)$ et $h$ son affixe.

Justifier que $h=\dfrac{2ib}{2+ib}$

3. Soient les points $E$ et $F$ d'affixe respectives $b$ et $+2i$

On se propos déterminer la valeur de $b$ pour laquelle le triangle $EHP$ soit isocèle rectangle en $H$

a. Montrer que $h-(2-2i)=\dfrac{2i}{b}(h-b)$

b. Conclure

Problème

Partie $A$

1. Soit la fonction $g$ définie $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(2+x)\mathrm{e}^{-x}-2
$

a. Étudier les variations de $g$

b. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ exactement deux solutions.

On notera par $\alpha$ la solution non nulle et on vérifiera que $-2<\alpha <-1$

c. En déduire le signe de $g(x)$

2. Soit la fonction $f$ est continues sur $\mathbb{R}$ par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x^{2}\mathrm{e}^{x}}{1-\mathrm{e}^{x}}\\ f(0)&=&0 \end{array}\right.\text{ si }x\neq 0$

a. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$

b. Montrer que $f$ dérivable sur $R$ et que pour tout réel $x$ non nul on a :

$f'(x)=\dfrac{x_{\beta}(x)}{\left(\mathrm{e}^{-x}-1\right)^{2}}$

c. Montrer que $f(a)=-a(2+a)$

d. Étudier les variations de $f$ puis construire la courbe de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v}\right)$ (On prendra $\alpha=1.6$ pour la construction.

3. On considère la fonction $F$ définie sur $]-\infty\ ;\ 0]$ par : $F(x)=-\int_{-x}^{o}f(-t)dt.$

a. Justifier l'existence de $F(x)$ pour tout réel $x$ négatif

b. Montrer que $F$ continue et strictement croissant sur l'intervalle $I=]-\infty\ ;\ 0[$

4. On considère la fonction $G$ définir sur $]-\infty\ ;\ 0]$ par : $G(x)=\int_{x}^{-\ln 2}t^{2}\mathrm{e}^{t}dt$

a. A l'aide de deux intégrations par parties, calculer $G(x)$ puis montrer que $G$ admet une limite en $-\infty$ que l'on précisera.

b. Montrer que pour tout $t\in]-\infty\ ;\ -\ln 2]$ on a : $f(t)\leq 1t^{2}\mathbb{e}^{t}$ et en déduire qu'il existe un réel positif $M$ tel que  pour réel $x$ négatif on a : $F(x)\leq M$

c. En déduire que $\lim\limits_{x\longrightarrow\, -\infty}F(x)\leq M$