I. Calcul de limites                                                                                                                                                                                                                                        1. Limites de fonctions usuelles :

i. Soit a un réel ou et $c$ est un réel.

On a alors $ \lim\limits_{n\longrightarrow\, a}c=c$

ii. Soit $n$ est un entier naturel, On a alors :
$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=+\infty$

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=+\infty$

$$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,-\infty}x^{n}=\left\lbrace\begin{array}{lcr}
+\infty &\text{si} n \text{est pair}\\
-\infty &\text{si} n \text{est impaire}
\end{array}\right.$$

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,-\infty}\dfrac{1}{x^{n}}=0$

$\bullet \lim\limits_{n\longrightarrow\,\infty}\dfrac{1}{x^{n}}=0$ :

iii. Si $f$ est une fonction polynôme et si $a$ est un nombre réel alors \lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)=f(a)$

Exemples

i.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{4}=+\infty$

ii.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{2}=+\infty$

iii.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}x^{7}=-\infty$

iv.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0
$

v.$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{1}{x^{6}}=0
$

vi.$f(x)=-2x^{2}+3x+7$ donc

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,1}f(x)=f(-1)=1$

2. Opérations sur les limites

Dans les tableaux suivants, $f$ et $g$ sont des fonctions, a est un réel ou bien $a=\infty$,$l$ et $l'$
des nombres réels.

Limite d'une somme

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)&l&l&l&+\infty&-\infty&+\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}g(x)&l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)+g(x)&l+l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&\text{Forme indéterminée}\\
\hline
\end{array}$$

Exemple

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}x^{3}+\dfrac{1}{x^{2}}=+\infty$

Limite d'un produit

Exemple

$\alpha$ est un réel

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)&1&\infty&-\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}x f(x)&\alpha\times l&\left\lbrace\begin{array}{lcr}
+\infty &\text{si}\alpha&>0\\
-\infty &\text{si}\alpha&<0
\end{array}\right.&\left\lbrace\begin{array}{lcr}
+\infty &\text{si}\alpha&>0\\
-\infty &\text{si}\alpha&<0
\end{array}\right.\\
\hline
\end{array}$$

Exemples :

$\bullet$ Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}2x^{2}; \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}x^{2}=+\infty$ et$-2>0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}2x^{2}=+\infty$

$\bullet$ Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}-2x^{2};\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}x^{2}=+\infty$ et$-2<0$ donc $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}-2x^{2}=-\infty$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline                                                                                                                                                                                                                                                     f(x)&l&l>0&l>0&l<0&l<0&-\infty&-\infty&\infty&0\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}g(x)&l'&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)\times g(x)&l\times l'&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\text{Forme indéterminée}\\
\hline
\end{array}$$

Limite d'un quotient

Cas où la limite du dénominateur est non nulle

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)&l&l&+\infty&+\infty&-\infty&-\infty&\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}g(x)&1\neq 0&\infty&l'>0&l'<0&l'>0&l'<0&\infty\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}\dfrac{f(x)}{g(x)}&\dfrac{l}{l'}&0&+\infty&-\infty&-\infty&+\infty&\text{Forme indéterminée}\\
\hline
\end{array}$$
Cas où la limite du dénominateur est nulle

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}f(x)&1\in 0&\infty&0\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}g(x)&0&0&0\\
\hline
\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}\dfrac{f(x)}{g(x)}&\infty&\infty&\text{Forme indéterminée}\\
\hline
\end{array}$$

Dans les deux premiers cas,pour savoir de quel infini il s'agit,on est amené à étudier le signe du dénominateur dans un voisinage de $a$.

3. Exemples de calculs de limites à gauche et à droite en un réel.

Exemple 1

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{3x-x}{2x-4}$

Exemple 2

Calculons $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-1}\dfrac{x^{2}+x+6}{x^{2}+x-1}$

4. Limite à l'infini d'un polynome et d'une fraction rationnelle

$\bullet$ la limite à l'infini d'un polynôme est égale à la limite à l'infini de son monôme de plus haut degré.

$\bullet$ la limite à l'infini d'une fraction rationnelle est égale à la l'infini du quotient du monôme de plus haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du
dénominateur.

Exemples

$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,\inf}3x^{4}-2x+7$
 
$\bullet \lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{x^{3}+x+6}{x^{2}+x-1}$

II. Dérivabilité

1. Définition et exemple

a. Définition

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en un réel $a\in D_{f}$ si $\lim\limits_{x\longrightarrow\,a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ est un nombre réel
$l$.

Le nombre réel $l$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté  $f'(a)$.

b. Exemple

$f(x)=x^{2}; f$ est-t-elle dérivable en $1$.

$\lim\limits_{x\longrightarrow\,1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=2$ donc $f$ est dérivable en $1$ et est noté $f'(1)=2$.

2. Tangente à la courbe d'une fonction en un point

a. Définition

Soit $f$ est une fonction dérivable en $a$.

La droite  est dite tangente à la courbe de $f$ au point $(a ; f(a))$.

b. Exemple

Nous avons vu plus haut que la fonction $f$ telle que $f(x)=x^{2}$ est dérivable en $1$ et son nombre
dérivé en $1$ est $f'(x)=2$.

Ainsi la droite d'équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)$-à-dire
$y=2x-1$ est la tangente à la courbe de $f$ au point $(1, f(1))=(1;1)$.

3. Dérivée des fonctions usuelles

a. Tableau des dérivées des fonctions usuelles

Le tableau suivant donne les fonctions dérivées de fonctions usuelles.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
f(x) &f'(x)&\text{Ensemble de dérivabilité de} f \\
\hline
f(x)=c;c\in\mathbb{R}&f'(x)=0&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=x&f'(x)=1&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=ax&f'(x)=a&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=ax&f'(x)=a&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=ax+b&f'(x)=0&\mathbb{R}\\
\hline
f(x)=x^{n};n\in \mathbb{N}  {0}&f'(x)=nx^{n-1}&\mathbb{R} \\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x}&f'(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}&\mathbb{R^{*}}\\
\hline
\end{array}$$

b. Exemples

$\bullet$Pour $f(x)=-8$, on a $f'(x)=0$

$\bullet$Pour $f(x)=x^{2}$, on a$f'(x)=2x^{2-1}$ -à-dire
$f(x)=2x$

$\bullet$Pour$f(x)=x^{2}$ , on a -à-dire

$\bullet$Pour , on a

$\bullet$Pour , on a

4. Opérations sur les dérivées

$u$ et $v$ sont des fonctions dérivables sur un intervalle $I$, un nombre réel et $n$ un entier naturel
non nul.

$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Fonctions définies par}& \text{Dérivées}\\
\hline
u(x)+v(x)&u'(x)+v'(x)\\
\hline
u(x)-v(x)&u'(x)-v'(x) \\
\hline
\alpha\times u(x)&\alpha\times u'(x) \\
\hline                                                                                                                                                                                                                                                                               u(x)\times v(x)&u(x)\times u'(x)+v'(x)\times u(x) \\
\hline
\dfrac{1}{u(x)}&\dfrac{u'(x)}{\left[u(x)\right]^{2}} \\
\hline
\dfrac{u(x)}{v(x)}&\dfrac{u'(x)\times v(x)-v'(x)\times u(x)}{\left[ u(x)\right]^{2}} \\
\hline
u(x)^{n}&nu'(x)\left[u(x)\right]^{n-1} \\
\hline
\end{array}$$

a. Théorèmes

$\bullet$ Si $f$ est une fonction polynôme alors son ensemble de dérivabilité est $\mathbb{R}$.

$\bullet$Si f est une fraction rationnelle alors son ensemble de dérivabilité est $D_{f}$

b. Exemples

Si $f(x)=x^{2}+3X-7$ alors $f'(x)=2x+3$

Si $f(x)=-4x^{3}$ alors $f'(x)=-4(3x^{2})=-12x^{2}$

Si $f(x)=(3x^{2}+2x)(2x-5)$ alors $f'(x)=(6x+2)(2x-5)+2(3x^{2}+2x)$

Si alors $\dfrac{2}{(2x-5)^{2}}$

Si $f(x)=\frac{2x+3}{4x+7}$ alors $f'(x)=\dfrac{2(4x+7)+4(2x+3)}{(4x+7)^{2}}=\dfrac{2}{(4x+7)^{2}}$

Si $f(x)=(2x-5)^{3}$ alors $f'(x)=3(2)(2x-5)^{2}$

c. Remarque

Si $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ alors $f'(x)=\dfrac{abcd}{(cx+d)}$

5.Sens de variation d'une fonction

a. Théorème

Soit $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

$\bullet$ Si pour tout $x\in I,f'(x)\geq 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.

$\bullet$ Si pour tout $x\in I,f'(x)\leq 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.

$\bullet$ Si pour tout $x\in I,f'(x)=0$, alors $f$ est constante sur $I$.

b. Définition

Etudier le sens de variation d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ c'est étudier si $f$est croissante
ou décroissante sur $I$.

c. Exemple

$f(x)=x^{2}-6x+5$.

Etudions le sens de variation de $f$ sur les intervalles de

Le tableau suivant est appelé tableau de variation de $f$, il permet de visualiser les variations de
$f$.

d. Propriété

Si $f'(x)$ s'annule en $a$ et change de signe alors $f$ admet un extrémum en a et dans ce cas,l'extrémum est le point $\left(a;f(a)\right)$ passe de $-$ en $-$ alors l'extrémum est dit maximum et si c'est de
$-$ en $+$ alors il est dit minimum.

Par exemple $f$ définie ci-dessus admet un extrémum en $3$ et cet extrémum est un minimum de
$f$.