Composition du second semestre TL'-L2 - 2024-2025

Exercice 1

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

$A-$ On considère le polynôme $?$ défini par $?(?)=2?^{3}-5?^{2}-46?+24$
 
1. Vérifier que $6$ est racine de $?(?)$

2. En déduire une factorisation complète de $?(?)$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $?(?)=0$

4. En déduire les solutions de :

a. $2(???)^{3}-5(???)^{2}-46??+24+0$

b. $2?^{3?}-5?^{2?}-46?^{?}+24=0$

B. Résoudre le système suivant: $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}&=&15\\
\mathrm{e}^{x}+2\mathrm{e}^{y}&=&40 \end{array}\right.$$

Exercice 2

Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes

A Dans une classe de $30$ élèves composée de $20$ filles et $10$ garçons.

Les élèves se réunissent pour élire
un bureau constitué d'un responsable de classe et d'un adjoint sans cumul de poste.

1. Quel est le nombre de bureaux possibles.

2. Quel est le nombre de bureaux ayant au moins un garçon.

B. Une Urne contient $6$ boules blanches,$4$ boules rouges et $2$ boules jaunes indiscernables au toucher.

$?^{è??}$Épreuve: On tire simultanément $3$ boules de l'urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:

A: << Obtenir $3$ boules blanches >> et 

B: << Obtenir $3$ boules de la même couleur>>

$$?^{è??}$ Épreuve: On tire successivement et avec remise $3$ boules de l'urne.

Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
 
C :<< Obtenir $2$ boules blanches et une boule jaune >> et

D : << Obtenir un tirage tricolore>>

Problème 

Soit $?$ la fonction numérique définie par: $?(?)=\ln(-?+2)$

On appelle $\left(?_{?}\right)$ la représentation graphique de la fonction $?$ dans un repère orthonormé.

1.a.Montrer que l'ensemble de définition $?_{?}$ de $?$ est $?_{?}=]-\infty\ ;\ 2[$

b. Étudier les limites de $?$ aux bornes de $?_{?}$

En déduire une asymptote à la courbe $\left(?_{?}\right)$ 

c.On admet que $\lim\limits_{?\longrightarrow\;,-\infty}\dfrac{?(?)}{?}=0$

Quelle est la nature de la branche infinie à la courbe $\left(?_{?}\right)$ en $-\infty$ ?

2. Déterminer la dérivée $?'$ de $?$ et établir le tableau de variation de $?$

3.Résoudre l'équation $?(?)=0$ ,puis interpréter graphiquement le résultat.

4.Donner une équation de la tangente $(?)$ à $\left(?_{?}\right)$ au point d'abscisse $1$ 

5. Construire la tangente $(?)$ ,l'asymptote et la courbe $\left(?_{?}\right)$