Composition 2e semestre TS1 -2024-2025

Exercice 1 :

Soit $P$ un nombre premier impair.  

On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\ :\ x^{2}\equiv 2[p]$

1. a- Montrer que $2^{p-1}\equiv 1[p]$
          
b – En déduire que $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ ou $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv -1[p]$
                                                          
2. Soit $x$ une solution de $(E)$
 
a- Montrer que $p$ et $x$ sont premiers entre eux.         

b- En déduire que $2^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$
           
3. Montrer que pour tout $k\in{1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ \ldots\ ;\ p-1}$, $p$ divise $C_{p}^{k}$
       
4. En utilisant la formule de Moivre, montrer que : $\left(1+\mathrm{i}\right)^{p}=2^{\dfrac{p}{2}}\cos\left(p\dfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}2^{\dfrac{p}{2}}\sin\left(P\dfrac{\pi}{4}\right)$

5. On admet que $\left(1+\mathrm{i}\right)^{p}=\sum_{k=0}^{\dfrac{p-1}{2}}(-1)^{k}C_{p}^{2k}+\mathrm{i}\sum_{k=0}^{\dfrac{p-1}{2}(-1)C_{k=0}^{2k}+1}$

a.  Montrer que $2^{\dfrac{p}{2}}\cos\left(P\dfrac{\pi}{4}\right)\in\mathbb{Z}$

b- Montrer que $2^{\dfrac{p}{2}}\cos\left(P\dfrac{\pi}{4}\right)\equiv -1[p]$
 
6. En déduire que  si $p\equiv 5[8]$, alors $(E)$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{Z}$
   
Exercice 2 : 
 
Dans le plan $(P)$ orienté, on considère un segment $[DC]$ tel que $DC=5\,cm$
 
1. Construire le point $\Omega$ centre de la rotation $r$ d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et qui transforme $D$ en $C$
   
2. Soit $A$ et $B$ deux points du plan tels que $DAC$ soit un carré direct de centre $O$ ; 

on désigne par $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$ ,$[CD]$ et $[DA]$

a- Reconnaitre et caractériser la transformation 

$r\left(\omega\ ;\ \dfrac{\pi}{4}\right)$ or $\left(O\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right)$

b. Identifier et caractériser l'application $g=t_{\overrightarrow{BC}}oS_{(BD)}$
    
3. On considère l'application $h$ définie par : 
$$h=r_{\left(A\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right)} ot_{\overrightarrow{CA}}or\left(o\ ;\ \dfrac{\pi}{2}\right)$$

a. Déterminer $g(C)$ l'image du point $C$ par $h$
       
b. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $h$
       
4. Soit $G$ le milieu du segment $[OC]$

On considère l'ellipse $(E)$ de centre $O$ et dont deux de ses sommets sont $B$ sur le grand axe et $G$ sur le petit axe. 

On rappelle que le cercle de centre $O$ et              
de rayon $OG$ est le cercle secondaire. 

La parallèle à $(BD)$ en $G$ coupe le cercle principal en $H$ sur l'arc de cercle contenant $B.$

Soit $F$ le projeté orthogonal de $H$ sur $(BD)$ 

a. Que représente le point $F$ pour l'ellipse $(E)$
 
b. Tracer l'ellipse $(E)$ puis construire ses asymptotes $\left(\Delta_{1}\right)$ et $\left(\Delta_{2}\right)$
      
5. On considère le repère orthonormé du plan $\left(O\;,\overrightarrow{OB}\;,\overrightarrow{OC}\right)$
 
a. Déterminer les coordonnées de $F$ dans ce repère.       

b. Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse $(E)$ dans ce repère.
    
6. Soit $(H)$ l'hyperbole de sommets $L$ et $J$ et d'asymptotes $(OD)$ et $(OC)$
 
a. Montrer que $(H)$ est une hyperbole équilatère.
       
b- Placer les foyers $F_{1}$ et $F_{2}$ ainsi que les directrices $(\Delta)$ et $\left(\Delta'\right)$ de $(H.)$
      
c. Construire alors l'hyperbole $(H)$
        
Problème : 
 
Partie A : 

1.a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)\ :\ y'=2y+2$

b.a Soit l'équation différentielle $\left(E'\right)y'=y+2\mathrm{e}^{-x}$

Montrer que $k$ est une solution de $\left(E'\right)$ si et seulement si $g(x)=\mathrm{e}^{x}k(x)$ est solution de $(E)$ 

d. Déterminer alors les solutions de l'équation $(E)$

2.a. Montrer que la fonction $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}$ est la solution de $\left(E'\right)$ e qui s'annule en $O$

b. Dresser le tableau de variations de $f$

c. Montrer que $f$ est bijective sur $\mathbb{R}$ puis donner la forme explicite de  $f^{-1}$
   
3. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $H(x)=\int_{0}^{f(x)}\sqrt{4+t^{2}}dt$

a. Justifier que $H$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis calculer $H'(x)$
      
b. En déduire que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $H(x)=\dfrac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}^{-2x}\right)+2x$

c. En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale $\int_{0}^{f(x)}\dfrac{t^{2}}{\sqrt{4+t^{2}}}dt$

4. Soit la fonction $F_{n}$ définie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par $F_{n}(x)=\int_{\dfrac{1}{\mathrm{e}}}^{\dfrac{1}{f(x)}}\left(1+\ln t\right)^{n}dt\;,\forall n\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$
  
a. Calculer $F_{1}(x)$ puis déterminer la $\lim\limits_{x\longrightarrow\;,+\infty}F_{1}(x)$

b. Montrer à l'aide d'une intégration par parties que : 

$F_{n+1}(x)=\dfrac{1}{f(x)}\left(1-\ln(f(x)\right)^{n+1}-(n+1)F_{n}(x)$

c- En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que :  

$\forall n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{f(x)}\right)\left(1-\ln(f(x)))^{n}\right)=0$

d. Montrer par récurrence que la fonction $F_{n}$ admet une limite finie notée $L_{n}$ en $\infty$   
 
e Montrer que $\lim\limits_{n\longrightarrow+\infty}L_{N}=(-1)^{n}\cdot\mathrm{e}\cdot n!$
       
Partie B 

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)=\dfrac{f(x)}{f'(x)}$
 dans la partie $A$ et $f'$ sa dérivée sur $\mathbb{R}$
   
1.a.  Montrer que $F(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{2x}-1}{\mathrm{e}^{2x}+1}$ puis en déduire que $F$ est impaire   
   
b. Montrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$, $-1<F(x)<1$
         
c. Dresser le tableau de variations 
de $F$ puis en déduire le signe de $F$ sur $\mathbb{R}$

d. Montrer que $F$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers un intervalle $J$ à préciser.
     
2. Soit $\alpha$ un réel de l'intervalle $]-1\ ;\ 1[$

a. Montrer que l'équation $F(x)=\alpha$ admet une solution unique $x_{0}$
      
b. Justifier que $x_{0}=\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1+\alpha}{1-\alpha}\right)$

Donner une valeur approchée de $x_{0}$ prés $10^{-2}$ si $\alpha=\dfrac{1}{2}$

3. Montrer que $\forall x\in\mathbb{R}\;,F'(x)=1-(F(x))^{2}$ puis donner un encadrement de $F'$
   
4. Pour tout $x>0$, donner un encadrement de $\int_{0}^{x}F'(t)dt$ où $f$ est la fonction définie                               

5. Justifier alors que $0\leq F(x)\leq x$

En déduire la position relative de $\left(C_{F}\right)$ la courbe de $F$ et de sa tangente (∆) au point d'abscisse $0$
        
6. Tracer la courbe $\left(C_{F}\right)$ dans le repère précèdent  
      
7.a. En remarquant que $F(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}$, déterminer une primitive de $F.$
     
b. En utilisant la question $3$ de la partie $B$, calculer l'intégrale $\int_{0}^{1}(F(x))^{2}dx$

b. Montrer que $\int_{0}^{1}x(1-(F(x))^{2})dx=\dfrac{\mathrm{e}^{2}-1}{\mathrm{e}^{2}+1}-\ln\left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}+1}{2\mathrm{e}}\right)$

c. En déduire alors l'intégrale $\int_{0}^{1}x(F(x))^{2}dx$