Soient $ABC$ un triangle tels que : $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$ et $I$ un point du plan tel que : $B=\text{bar }{(A\;,1)}$ ; ${(I\;,-1}$ ; ${(C\;,2)}$
Pour tout point $M$ du plan, on définie l'application $g(M)=MA^{2}-3\,MB^{2}+3\,MC^{2}$
1. Calculer $AI^{2}$,$BI^{2}$ et $CI^{2}$
2. Exprimer $g(E)$ en fonction de $MI$, $a$, $b$ et $c$
Les questions $1.2.3$ et $4$ sont indépendantes
1.a. Donner la forme algébrique de $\left(\sqrt{2}-\mathrm{i}\sqrt{2}\right)^{3}$
b. Déterminer dans $\mathbb{C}$ les solutions de l'équation $(E)\ :\ z^{3}=4\sqrt{2}\left(-1-\mathrm{i}\right)$ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique
I résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}$
b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ équation et inéquation
suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(O\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right)$
On notre $A$ le point d'affixe $I$ et $B$ le point d'affixe $3+2i$
On appelle $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ distinct de $A$ et d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'=\dfrac{z-1+2i}{z-1}$
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes :
a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}=\sqrt{2x^{2}+x-1}$
b. $-3\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq-x$
c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$
d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$
2. On considère le polynôme $|P|=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1$
1. On considère les équations différentielles.
$(E)\ :\ y"-y'=2(x+2)\mathrm{e}^{x}$ et $\left(E_{0}\right)\ :\ y"-y'=0$
1. Déterminer $\alpha$ pour que la fonction $f$ définie par $f(x)=ax(x+2)\mathrm{e}^{x}$ soit solution de $(E)$
2. Démontrer que $g$ est une solution de $(E)$ si et seulement si $g^{-}f$ est solution de $\left(E_{0}\right)$
Dans l'espace, on considère $8$ points $O$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ et $G$ tels que $OABCGDEF$ soit un cube d'arête une unité.
l'espace est muni du repère orthonormé $\left(O\ ;\ \overrightarrow{OA}\;,\overrightarrow{OC}\;,\overrightarrow{OG}\right)$
Les parties $A$ et $B$ sont indépendantes.
Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $1$ ; $2$ et $3$ avec les probabilités $a$ , $b$ et $\dfrac{3}{10}$ respectivement.
Exercice 1 :
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$ et m un réel différent de $-2$
On considère l'application $f$ du plan dans $\mathbb{R}$ par : $f(M)=MA^{2}+MB^{2}+mMC^{2}$
1. Justifier l'existence du point $G_{m}$ barycentre du système :
${(A\;,1)\ ;\ (B\;1)\ ;\ (C\;,m)}$
2. Montrer que $f(M)=(2+m)MG_{m}^{2}+f\left(G_{m}\right)$
3. Montrer que : $f(A)+f(B)+mf(C)=(2+2m)AB^{2}$
4. Calculer $f(A)+f(B)+mf(C)$ en fonction de $f\left(G_{m}\right)$