Composition du premier semestre 1S1 - 2024-2025

Exercice 1

Soient $ABC$ un triangle tels que : $AB=c$, $AC=b$ et $BC=a$ et $I$ un point du plan tel que : $B=\text{bar }{(A\;,1)}$ ;  ${(I\;,-1}$ ; ${(C\;,2)}$

Pour tout point $M$ du plan, on définie l'application $g(M)=MA^{2}-3\,MB^{2}+3\,MC^{2}$

1. Calculer $AI^{2}$,$BI^{2}$ et $CI^{2}$

2. Exprimer $g(E)$ en fonction de $MI$, $a$, $b$ et $c$

3. Soit $(E)$ l'ensemble des points $M$ du plan tel que : $g(M)=3\left(b^{2}-c^{2}\right)$

a. Montrer que le point $A$ appartient à $(E)$

b. Déterminer la nature de $(E)$

c. Retrouver la valeur de $AI^{2}$

4. On suppose que le triangle $ABC$ est isocèle en $A.$

Déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M$ du plan tel que : $g(M)=-7\,a$

5. Soient $D$, $F$ et $K$ les points tels que : $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $A$, $5\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AC}$ et $F={(B\;,1)}\ ;\ {(C\;,-3)}$

Montrer que les droites $(BK)$, $(AF)$ et $(CD)$ sont concourantes

Exercice 2 :

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $t^{2}\sqrt{2}+t-3t\sqrt{2}+3=\sqrt{2}$

2. On considère $f(x)=-\sqrt{2}\in^{2}x+\cos x-3\sqrt{2}\cos x+3$

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $f(x)=0$ En déduire les solutions d    ans l'intervalle $[0\ ;\ \pi]$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $f(x)=\left(3-\sqrt{2}-\cos x\right)\left(1+\sqrt{2}+\sqrt{2}\sin x\right)$

c. Résoudre dans l'intervalle $[0\ ;\ 2\pi]$ l'inéquation $\left[2\sin (2x)+\sqrt{3}\right] f(x)\geq 0$

Exercice 3

On donne l'équation $(E)$ : $x^{2}-2(2+m)x+4+2\,m=0$ avec $m$ un paramètre réel.

1. Discuter suivants les valeurs de $m$ l'existence des racines de $(E)$

2. Dans le cas ou $(E)$ admet deux racines distintes $a$ et $b$

a. Déterminer si possibles les valeurs de $m$ pour lesquelles $a<2<b$

b. Étudier la position de $1$ par rapport aux racines $a$ et $b$

Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R}{1}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+4}{2(x-1)}$

a. $f$ est-elle injectes ? surjective ?

b. Montrer que la restruction $h$ fr $f$ de $]2\ ;\ +\infty[$ vers $]0\ ;\ +\infty[$ est bijective et préciser sa bijection réciproque

c. Déterminer de deux manière l'antécédent de $10$ par $h$