Composition du premier semestre 1S1 2024-2025

Exercice 1

1. On considère le polynôme $P(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6$

a. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$

b. En déduire les solutions de l'équation :

$\left(\sqrt{x+1}\right)^{3}-6\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}+11\sqrt{x+1}-6=0$

2. On donne les système $(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}&=&14\\ xyz&=& \end{array}\right.$

a. Montrer que le triplet $(a\ ;\ b\ ;\ c)$ est solution de $()$ si et seulement si $a$, $b$ et $c$ sont racine de $P(x)$

b. Résoudre alors le système $(S)$

c. En déduire la solution du système $\left(S'\right)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl}
\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}+\sqrt{z-3}&=&6\\ x+y+z&=&20\\ (x-1)(y-2)(z-3)&=&36 \end{array}\right.$

Exercice 2 :

Soit $f$ l'application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}
$ par $f(x)=-x^{2}+2x+2$

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$

2. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\leq 3$

3. A l'aide des questions précédentes, dire si l'application $f$ est injective, surjective

4. Déterminer l'image réciproque par $f$ de l'intervalle $[-13\ ;\ 2[$

5. Soit 

$\begin{array}{rcl} g\ :\ ]-\infty\ ;\ 1]&\rightarrow&]-\infty\ ;\ 3]\\x&\mapsto&-x^{2}+2x+2 \end{array}$

a. Montrer que $g$ est une bijection et définir sa bijection réciproque $g^{-1}$

b. Déterminer l'image directe par $g$ de l'intervalle $[-1\ ;\ 1]$

Exercice 3

$ABCD$ est un rectangle tel que $AC=\alpha$ où $\alpha$ est un réel strictement positif.

Soit $m$ un réel non nul

1. On note $G_{m}$ le barycentre du système : ${(A\;,m)\;,(B\;,-1)\;,(C\;,1)}$

a. Faire une figure et placer $G_{1}$ et $G_{2}$

b. Montrer que le vecteurs $\overrightarrow{AC_{m}}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

c. Déterminer l'ensemble des points $G_{m}$ lorsque $m\in\mathbb{R}{0}$

2. On pose $AB=4$ et $AD=6$

Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ du plan tels que :

$2\,MA^{2}-MB^{2}+MC^{2}=\alpha^{2}$

Exercice 4

$ABC$ est un triangle, on pose $BC=a$, $AC=b$ et $AB=c$

$A'$ est le milieu de $[BC]$, $B'$ est le milieu d $[AC]$, $C'$ celui de $[AB]$ et $G$ l'isobarycentre de $ABC$

1. Montrer que $AG^{2}=\dfrac{1}{9}\left( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right)$

2. A tout $M$ du plan, on associe le réel $g(M)=MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$

a. Montrer que, pour point du plan : $g(M)=3MG^{2}+\dfrac{a^{2}b^{2}+c^{2}}{3}$

b. Soit $k$ un réel .

Déterminer suivant les valeurs de $k$ l'ensemble $\left(L_{k}\right)$ des points $M$ du plan tels que $g(M)=k$

3. En calculant de deux manières différentes

$\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^{2}$, établir que $2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=3\,MG^{2}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{6}$

4. On considère les points communs aux cercles de diamètres $\left[AA'\right]$ et $[BC]$, montrer que lorsqu'ils existent, ils appartiennent à un cercle $(\Gamma)$ de centre $G$, dont on donnera le rayon en
fonction de $a$, $b$ et $c$

5. Déterminer la valeur du réel $k$ telle que $(\Gamma)=\left(L_{k}\right)$