Composition harmonises du 1er semestre 1e S1 2024-2025

Épreuve mathématique

Exercice 1

I résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations suivantes

a. $\sqrt{4x^{2}-2x-2}$

b. $3-\sqrt{5x^{2}+6x+1}\geq -x$

c. $\sqrt{-5x^{2}+3x+2}=5x-1$

d. $\sqrt{5x+1}-\sqrt{x+1}=2$

2. On considère le polynôme $P=x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-5x+1$

a. Montrer que $0$ n'est pas racine de $P(x)$

b. Montrer que pour tout $x\neq 0\dfrac{P(x)}{x^{2}}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-5\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+4$

c. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation $P(x)=0$

d. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P(x)=0$

Exercice 2

I. Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ unité $2\,cm$

Soit $u$ et $v$ deux fonctions de courbes représentatives respectives $(Cu)$ et $Cu)$

$a$ et $b$ deux réels tels que : $u(x)=v(x-a)+b$

1. Par quelle transformation passe-t-on de $(Cv)$ à $C u$ ?

2. Soit $u(x)=\dfrac{-x-1}{x+2}$

Déterminer la fonction $v$ telle que $u(x)=v(x+2)-1$

3. Construire $Cv$ puis en déduire le tracé de $Cu$ dans le repère précédent

II. Soit la fonction $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par $f(x)=3+\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

1. Justifie que $f$ est une application