Devoir mathématique - 1er S1

Exercice 1 :

On donne le polynôme $f_{m}$ défini par : $f_{m}=x^{2}+2(m-1)x+m^{2}-1$ où $m$ est un

paramètre réel.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f_{m}(x)=0$

2. On suppose que $m<1$

Soit $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de $f_{m}(x)$ avec $x_{1}<x_{2}$

Étudier la position de $-m$ par rapport à $x_{1}$ et $x_{2}$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\left(E_{m}\right)\ :\ \sqrt{2x+1}=x+m$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et inéquations irrationnelles suivantes : 

a. $x-4-3+\sqrt{x^{2}-x-12}=0$ ; 

b. $\sqrt{2x+7}+\sqrt{x+3}=5$ ; 

c. $\left|x^{2}-3x\right|\leq 6-x$

d. $\sqrt{-4x^{2}+x+5}\geq 2x+2$

2. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système:

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{3}+y^{3}&=&35\\ x^{2}+y^{2}&=&13 \end{array}\right.$

3. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants:

a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ x+y+t&=&7\\ x+z+t&=&8\\ y+z+t&=&9 \end{array}\right.$

b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+z&=&6\\ -2x+y-z&=&-6\\ 3x-y-2z&=&-2 \end{array}\right.\text{ en déduire la solution du système }$

c. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&6\\ -2x+y-\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&-6\\
3x-y-2\left(2z+\sqrt{z}\right)&=&-2 \end{array}\right.$

Exercice 3 : 

NB : les questions 1. ; 2. et 3. sont indépendantes

1. On considère le système suivantes $(S)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&53\\
xy+xz+yz&=&732\\ xyz&=&1260 \end{array}\right.$

a. Montrer que le triplet $(x\;,y\;,z)$ est solution du système $(S)$ si et seulement si $x$,$y$ et $z$ sont les racines d'un polynôme $P(X)$ que l'on déterminera. 

b. Vérifier que $2$ est racine de $P(X)$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système $(S)$

2. Soit $g$ un polynôme défini par $g(x)=x^{4}+x^{3}+ax^{2}+bx+2$

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que $g(x)$ soit divisible par $h(x)=x^{2}+1$

3. On considère le polynôme $P$ défini par: $P(x)=\left(x^{n}-1\right)\left(x^{n+1}-1\right)$

Démontrer que $P(x)$ est divisible par $(x-1)\left(x^{2}-1\right)$

En déduire que $3^{21}-3^{10}-3^{11}+1$ est divisible par $16$