Olympiade ENSAE $\ldots$ mathématiques $\ldots$ édition $2025$

On prendra bien soin de préciser toute notation non donnée dans l'énoncé.

Toute affirmation devra être justifiée.

Il n'est pas interdit d'admettre certains éléments de démonstration (voire
des questions entières) afin de ne pas rester bloqué.

Mais ils doivent absolument être
mentionnés.

Il est demandé de ne pas recopier l'énoncé, on mettra seulement en évidence les
numéros des questions traitées.

Il est recommandé par contre d'annoncer ce qui va être démontré.

Il sera tenu compte, dans l'appréciation de la copie, de la rigueur, de la précision et
de la concision dans les réponses

Exercice 1

Cet exercice est composé de parties dans une large mesure indépendantes.
 
Partie $1$ :

On désigne par $\mathbb{C}[X]$ l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.

On donne $U={z\in\mathbb{C}|z|=1}$

On dit que $P\in\mathbb{C}[X]$ stabilise $U$ si $P(U)\subseteq U$

Soit $P=\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}X^{k}\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme de degré $n.$

Pour tout nombre complexe $z$, on définit

$P(z)+\sum_{k=0}^{n}\alpha_{k}z^{k}$, qui correspond à la valeur de $P$ au point $z.$

On note :

$$P^{\ast}(z)=\sum_{\lim_{k=o}^{n}}\overline{a_{n-k}}2^{k}$$

Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{C}^{\ast}\;,P^{\ast}(z)=z^{n}\overline{P\left(^{-1}\right)}$

En déduire que $P$ stabilise $U$ si et seulement si $P=aX^{n}$ où $\alpha\in U$

Partie 2 :

Soit $n> 2$ Montrer que les solutions de l'équation $1+z+z^{2}+\ldots+z^{n-1}-nz^{n}=0$ sont de module inférieur ou égal à $1$

Partie 3 :

On souhaite colorier tout le plan complexe à l'aide de trois couleurs : le vert, le jaune et le rouge.

Montrer par l'absurde qu'on ne peut pas effectuer ce coloriage de façon à ce que deux points du plan complexe situés à distance $1$ l'un de l'autre soient toujours de couleur différente

Indication : Montrez que deux points distants de $\sqrt{3}$ sont toujours de la même couleur.

Pour cela, construisez un losange, en utilisant le fait qu'un losange est constitué de deux triangles équilatéraux accolés sur un même côté.

Partie 4 :

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I\subset\mathbb{R}$ telle que : $\forall x\in I\;,\left(f(x)\right)^{2}=1$
 

Montrer que $f$ est constante.

Partie 5 :

Montrer que $\forall x\in]-1\;,1[\;,\ln(1-x)$ et en déduire la limite de
$$U_{n}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{np}\left(\text{ avec }p\mathbb{N}
\;,p\geq 2\right)$$

Exercice 2

Soit $n$ un entier naturel tel que $n\geq 2$

On se donne $n$ réels $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots$, $x_{n}$ de telle sorte que :

$-\ $Si $n$ est pair $(n=2\,m)$ alors $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{n}\right)=m^{2}$

$-\ $Si $n$ est impaire $(n=2\,m+1)$ alors $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{n}\right)=m^{2}+m$

2. Montrer par récurrence que les valeurs ainsi obtenues sont en fait des maximums.

3. Montrer $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{2025}\right)$ est inférieure ou égale à un nombre que l'on déterminera.

4. Trouver $i$ tel que $S\left(x_{1}\;,x_{2}\;,\ldots\;,x_{i}\right)\leq 1024144$

Problème : Droites de meilleure approximation

Dans un plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les trois points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ de coordonnées respectives $\left(x_{1}=0\right)\;,y_{1}=0\;,\left(x_{2}=1\;,y_{2}=2\right)\;,\left(x_{3}=-2\;,y_{3}=0\right)$

On va explorer différentes façons de trouver la meilleure droite qui passe au plus près des trois
points $\left(M_{1}\;,M_{2}\;,M_{3}\right)$ formant un « nuage » de points.

On désigne par :
$-\ \delta$ une direction donnée du plan

$-\ D$ une droite non parallèle à $\delta$, d'équation $y=ax+b$

On projette les points $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ sur D dans la direction $\delta$

On note respectivement $N_{1}$, $N_{2}$, $N_{3}$les points obtenus.

1. Dans cette question, la direction $\delta$ est celle de l'axe des ordonnées $Oy$

On cherche la droite $D$ rendant minimale l'expression $f(a\;,b)=M_{1}N_{1}+M_{2}N_{2}+M_{3}N_{3}$

a. Calculer les distances $M_{1}N_{1}$ $M_{2}N_{2}$ et $M_{3}N_{3}$

b. Dans cette question, le nombre réel $b$ est fixé

En discutant suivant $b$, étudier la fonction $\varphi$ définie par $\varphi(x)=|2x-b|+|x+b-1|$

Montrer que l'application $\varphi$ passe par un minimum pour $x=\dfrac{b}{2}$

c. En déduire l'existence et l'unité d'un couple $\left(a_{1}\;,b_{1}\right)$ minimisan $f(a\;,b)$

Identifier la droite d'équation $y_{1}=a_{1}x+b_{1}$

2. Dans cette question, la direction $\delta$ est encore celle de l'axe des ordonnées $Oy$

On cherche la droite $D$ minimisant l'expression $g(a\;,b)=\text{max }\left(M_{1}N_{1}\ ; M_{2}N_{2}\ ;\ M_{3}N_{3}\right)$

a. On définit les trois ensembles suivants :

$-\ $L'ensemble $E_{1}$ des points $M(s\;,y)$ du plan tels que $|y|\leq \dfrac{1}{3}$

$-\ $L'ensemble $E_{2}$ des points $M(x\;,y)$ du plan tels que $|y-2x|\leq \dfrac{1}{3}$

$-\ $L'ensemble $E_{3}$ des points