Épreuve  bac du 1er groupe - série L 2022

Exercice 1

Dans un pays, lors de la $1^{ère}$ vague de la pandémie de Covid-$19$, $400$ cas positifs ont été décomptés durant le $1^{er}$ mois. 

Chaque mois, le nombre de cas augmente de $5\%$

On note $U_{n}$ le nombre de cas positifs décomptés durant le nième mois de la pandémie.

1. Calculer $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$

2. Montrer que $\left(U_{n}\right)_{n\in\mathbb{R}^{\ast}}$ est une suite géométrique en précisant sa raison et son $1^{er}$ terme.

3.a. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n.$

b. Estimer le nombre de cas positifs décomptés durant le $7^{\text{ième}}$ mois.

c. Estimer le nombre total de cas positifs décomptés dans ce pays, durant les $7$ premiers mois de la pandémie.

Exercice 2

Le tableau ci-dessous donne les résultats d'une enquête portant sur la consommation moyenne bimestrielle en eau $\left(\text{en }m^{3}\right)$ de $6$ familles notée $y$, en fonction de la taille $x$ des familles (nombre de personnes constituant une famille).

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&2&3&5&6&8&9\\ \hline y_{i}&11.5&19.5&30&39&44&51\\ \hline \end{array}$

Représenter le nuage de points de la série $(x\;,y)$ dans un repère orthogonal $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

2. Calculer les moyennes $\overrightarrow{X}$ et $\overrightarrow{Y}$ , puis placer le point moyen $G$ du nuage de points.

3. Déterminer une équation de la droite $(D)$ de régression de $y$ en $x$

4. Représenter $(D)$ dans le repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

5. Estimer la consommation moyenne bimestrielle en eau d'une famille de $15$ membre.

Problème

Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\ln\left(-x+\mathrm{e}\right).$

On appelle $(\mathcal{C}_{f})$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$

1.a. Montrer que l'ensemble de définition est $D_{f}=]-\infty\ ;\ \mathrm{e}[$

b. Étudier les limites aux bornes de $D_{F}$

En déduire une asymptote á la courbe $\left(C_{f}\right)$

c. On admet que $\lim\limits_{x\longrightarrow-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0$

Quelle est la nature de la branche infinie á la courbe $\left(C_{F}\right)$ en $-\infty$

2. Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ et établir le tableau de variation de $f$

3. Résoudre l'équation $f(x)=0$, puis interpréter graphiquement le résultat.

4. Donner une équation de la tangente $(T)$ á $\left(C_{f}\right)$ au point d'abscisse $\mathrm{e}^{-1}$

5. Construire la tangente $(T)$ et la courbe $\left(C_{f}\right)$