Épreuve bac 1er groupe - L 2021

Exercice 1

Soit $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)\;,1\leq \mathrm{i}\leq n\;,\left(n\in\mathbb{N}^{\ast}\right)$ une série statistique double.

Recopier et compléter chacune des phrases suivantes par l'expression qui convient.

1. La droite de régression de $y$ en $x$ a pour coefficient directeur : $\alpha=\ldots$

2. Le coefficient de corrélation linéaire est $r=\ldots$

3. Si le coefficient de corrélation linéaire est nul alors les deux variables $X$ et $Y$ sont $\ldots$

4. Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées $\left(x_{i}\ ;\ y_{i}\right)$

est le $\bullet$ de la série statistique.

5. La covariance de la série statistique est : $\text{cov }(x\;,y)=\ldots$

6. la variance de $x$ est $V(x)=\dfrac{1}{n}\Sigma\lim_{i-1}^{n}\left(x_{i}-\overrightarrow{X}\right)^{2}=\ldots$
 

Exercice 2

ne banque propose, pour un placement d'un montant de $10000$ F CFA fait le premier janvier $2020$, un taux d'intérêt annuel de $4\%$ auquel s'ajoute une prime fixe de $500$ F CFA versée à la fin de chaque année.

On appelle $C_{0}$ le capital initial et $C_{n}$ celui obtenu le premier janvier $20220+n$ (c'est-à-dire le capital obtenu $n$ années plus tard).

1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$

2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}.$

3. On pose, pour tout entier naturel $n$ :$U_{n}=C_{n}+12500.$

a. Calculer $U_{0}$ et $U_{1}$

b Montrer que $_{n+1}=(1.04)U_{n}.$

En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$

c. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, $C_{n}$ en fonction de $n.$

Problème

On considère la fonction numérique $f$ définie par $h(x)=\mathrm{e}^{x}-x.$

On désigne par $\left(C_{h}\right)$ la courbe représentative de la fonction $h$ dans dans un repère orthonormé.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{h}$ de $h.$

2.a. Déterminer $\lim\limits_{x\longrightarrow\,-\infty}h(x)$

b. Montrer que pour tout réel $x$ non nul, on a : $h(x)=x\left(\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}-1\right)$

c. En déduire la limite de $h$ en $+\infty$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow\,+\infty}\dfrac{h(x)}{x}$

Que peut-on en déduire pour la courbe $\left(C_{h}\right)$ ?

3.a. Montrer que la droite $(\Delta)\ :\ y=-x$ est une asymptote oblique à $\left(C_{h}\right)$ ?

b. Préciser la position relative de $\left(C_{h}\right)$ par rapport à $(\Delta).$

4.a. Déterminer la dérivée $h'$ de $h.$ sur $\mathbb{R}$

b. Étudier le signe de $h'(x)$, pour tout $x$ de $\mathbb{R}.$

c. Dresser le tableau de variations de $h$

 Construire dans le repère la droite $(\Delta)$ et la courbe $\left(C_{h}\right)$