Épreuve bac du 1er groupe - L 2010

Exercice 1

Le prix d'un livre est de $200$ FCFA en l'an $2010$ ; ce prix augmente de $8\%$ chaque année.

Soit $P_{0}=2000\,F$ le prix en l'an $2010$ et $P_{n}$ le prix en l'an $2010+n\left(n\in\mathbb{N}\right)$

1. Calculer les prix $P_{1}$ et $P_{2}$ de ce livre en $2011$ et $2012$

2.a. Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_{n}.$

En déduire la nature de la suite $\left(P_{n}\right)$

b. Exprimer $P_{N}$ en fonction de $n.$

3. Un parent d'élèves décide d'acheter un exemplaire de ce livre chaque année.

Quelle somme dépenserait il de $2010$ à $2020$ ?

4. A partir de quelle année le prix de ce livre dépassera-t-il $1000$ CFA ?

Exercice 2

Au cours d'une séance d'essais un pilote d'automobile doit, quand il reçoit un signal sonore dans son casque, arrêter le plus rapidement possible son véhicule.

Au moment du top sonore, on mesure la vitesse $V_{i}$ en $Km/h$ de l'automobile puis la distance $Y_{i}$ en mètre nécessaire pour arrêter le véhicule. 

On obtient les résultats suivants pour six essais.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline V_{i}\left(Km/h\right)&27&43&62&80&98&115\\ \hline Y_{i}(m)&6.8&20.5&35.9&67.8&101.2&135.8 \\ \hline \end{array}$$

On suppose que les six valeurs de $V_{i}$, $X_{i}=V_{i}^{2}$ et on considère la série double $\left(X_{i}\ ;\ Y_{i}\right)$

1. Compléter le tableau :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline X_{i}&&&&&&\\ \hline Y_{i}&&&&&&\\ \hline \end{array}$

2.Construire le nuage de points associés à cette nouvelle série dans un repère orthogonal.

$X_{i}$ en abscisse avec $1\,cm$ pour $1000.$

$Y_{i}$ en ordonnée avec $1\,cm$ pour $10$

3.a. Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$, tracer cette droite dans un repère précédent.

b. En déduire la valeur estimée de $x$ pour une distance d'arrêt de $180,m$ puis la vitesse du véhicule.

c. Quelle est la distance d'arrêt pour une vitesse de $150\,Km/h.$

Problème

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{2\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}-2}$

1.a. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f.$

b. calculer les limites aux bornes de $D_{f}.$

En déduire l'existence de trois asymptotes à la courbe
$\left(C_{f}\right)$ de $f.$

2. Calculer la dérivée $f'(x).$

Dresser le tableau de variations de $f.$

3.a Déterminer les points d'intersection de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ avec les axes du repère.

b. Tracer les asymptotes et la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ dans un repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right).$

$\text{(On prendra }1\,cm\text{ pour unité)}$

4.a. Trouver les réels a et b tels que pour tout $x\in D_{f}\;,f(x)=\alpha+\dfrac{b\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-2}$

b. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]\ln 2\ ;\ +\infty[$

c. Calculer l'aire en $cm^{2}$, du domaine compris entre l'axe des abscisses, $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2.$