Épreuve bac du 1er groupe - L 2012

Exercice 1

En l'an $2010$, une entreprise décide de verser une prime annuelle à chacun de ses employés.

Cette prime augmente de $5000\,f$ chaque année.

La prime initial est $U_{1}=5000\,f$ et on note $U_{n}$ la prime individuelle versée la nième année.

1. Calculer $U_{2}$ et $U_{3}$

2. Exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_{n}.$

En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$

3. Exprimer $U_{N}$ en fonction de $n.$

4. En quelle année la prime atteindra-t-elle $145000\,F$ ?

5. Déterminer le montant total des primes que percevrait un employer de $2010$ à $2019.$

Exercice 2

Le tableau suivant donne le nombres d'abonnés d'un opérateur téléphonique en fonction des tarifs pratiqués.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Prix de la minute de }&200&240&220&160&150&140\\ \text{communication en }F&&&&&&\\CFA x_{i}&&&&&&\\
\hline \text{Nombres d'abonnés }y_{i}&250000&190000&230000&300000&310000&320000\\ \hline \end{array}$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(x\ ;\ y)$

2. Déterminer l'équation de la droite de régression en $y$ en $x D_{\dfrac{y}{x}}$

3. Donner une estimation du nombre d'abonnés pour un tarif de $100\,F$ la minute.

Problème

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x-\dfrac{\mathrm{e}^{x}-1}{\mathrm{e}^{x}+1}$

1. Donner l'ensemble de définition de $f.$

2. Déterminer les limites de $f$ aux bornes du domaine de définition.

3. Vérifier que pour tout $x$, $f(x)=x+1-\dfrac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ puis $f(x)=x-1+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}+1}$

4. calculer $f'(x)$ la dérivée de $f.$

5. Dresser la tableau de variations de $f.$

6. Vérifier que pour tout $x$, $(x)=x+1-\dfrac{2}{\mathrm{e}^{-x}+1}$ puis $f(x)=x-1+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}+1}$ puis $f(x)=x-1+\dfrac{2}{\mathrm{e}^{x}+1}$

7. Montrer que les droites $\left(D_{1}\right)\ :\ y=x-1$ et $\left(D_{2}\right)\ :\ y=x+1$ sont des asymptotes obliques à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ respectivement en $+\infty$ et en $--\infty$

8. Écrire une équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}=0$

9. Tracer les asymptotes, $(T)$ et $\left(\mathcal{f}\right)$ dans le repère.

10. a Vérifier que pour tout $x$, $f(x)=x+1-\dfrac{2\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+1}$ puis en déduire une primitive $F$ de $f.$

b. Calculer l'aire en $cm^{2}$ du domaine délimité par la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2.$