Épreuve bac du 1er groupe - L 2016

Exercice 1

En vue d'étudier les conséquences de l'émission de gaz à effet de serre sur la température dans une partie de la planète, on a relevé la température moyenne annuelle de cette partie, et le tableau ci-dessous donne les résultats de cette étude.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Année }&2006&2007&2008&2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015\\ \hline X_{i}\text{ Rang de l'année }&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline T_{i}\text{ température en}&34.36&34.52&34.56&34.76&34.88&34.90&35.02&35&35.16&35.24\\ \text{degré Celsius }&&&&&&&&&\\
\hline Y_{i}=T_{i}-24&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

1. Compléter le tableau ci-dessous et représenter le nuage de points $\left(X_{i}\ ;\ Y_{i}\right)$ de cette série statistique.

On prendra $1\,cm$ pour un rang de l'année et $5\,cm$ pour $1$ degré Celsius.

2.a. Calculer les coordonnées du point moyen $G.$

b. Calculer la variance de $X$ et la variance de $Y.$

3.a. En plus du point $G$, la droite de régression de $Y$ en $X$, $(D)$ passe par le point $A(3\ ;\ 0\;,61)$

l'aide d'un système de deux équations à deux inconnues, montrer que $(D)$ a pour équation :

$Y=0.092X+0.334$

b. En déduire la covariance de $X$ et $Y$ puis le coefficient de corrélation linéaire.

4. En supposant que l'évolution se poursuit, dans les mêmes conditions, quelle température peut-on prévoir en $2020$ ?

Exercice 2

Un touriste revient de vacances avec $15$ films ; $2$ films de photographies d'Italie, $8$ films de photographies du Sénégal, $5$ films de photographies du Niger. 

Aucune marque distinctive ne permet d'identifier les films.

Le touriste décide de faire développer 11 films parmi les $15$ films.

(On donnera les résultats sous forme décimale approchée à $10e$ prés.

1. Combien y a-t-il de choix différents possible.de $11$ films parmi les $15$ ?

2. Quelle est la probabilité pour que, parmi les 11 films développés, il y ait a Tous les films sur le Sénégal ?

b. Aucun film sur l'Italie ?

c. Autant de films sur le Sénégal que sur le Niger ?

d. Deux Fois plus de films sur le Niger que sur l'Italie ?

Problème

On considère la fonction f définie par : $f(x)=\dfrac{\ln x^{2}}{x}$

1. Montrer que l'ensemble de définition de $f$ est $\mathbb{R}-{0}$

2. Montrer que la fonction $f$ est impaire.

3. On décide d'étudier la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty$

a. Montrer que : $\lim\limits_{x\longrightarrow\,0^{+}}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\longrightarrow+\infty}f(x)=0$

b Interpréter graphiquement les résultats.

4.a. Montrer que $\forall x>0\;,f'(x)=2\left(\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}\right)$

En déduire que $f$ est strictement croissante sur $]\mathrm{e}\ ;\ +\infty[$ et strictement décroissante sur $]\mathrm{e}\ ;\ +\infty[$ en déduire le tableau de valeurs ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&\dfrac{1}{2}&1&2&\mathrm{e}&3&4\\ \hline f(x)&&&&&&\\ \hline \end{array}$

c. Sans calcul trouver les valeurs de : $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $f(-2)$, $f(-\mathrm{e})$, $f(-3)$ et $f(-4)$ en justifiant votre réponse.

5. Dans un repère orthonormé $\left(O\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ unité graphique $2\,cm$, tracer la $\left(C_{f}\right)$ sur son ensemble de définition.