Évaluation n°1 de mathématique 1er S1

Exercice 1

1. On se propose de calculer la somme $S_{n}=\Sigma_{k=1}^{n}k(n-k)$ en fonction de $n$

a. Démontrer par récurrence que $\Sigma_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

b. En remarquant que $T_{n}=\sigma_{k=1}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, montrer que : $S_{n}=\dfrac{(n-1)}{3}\times T_{n}$

2. Démontrer que récurrence la propriété : $\left(P_{n}\right)_{n\geq 5}\ :\ 2^{2}>(n+1)$

Exercice 2

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$

a. $\sqrt{x+1}+\sqrt{-x}=\sqrt{12x}$

b. $\sqrt{E(x-1)}=\sqrt{-x+3}$

c. $\sqrt{x^{2}+2x-2}\leq x^{2}+2x-4$ $\left(\text{on pourra poser }t=\sqrt{x^{2}+2x-2}\right)$

2. On se propose de résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système paramétrique $\left(S_{1}\right)$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+my-z&=&-1\\ -mx+\left(1-m^{2}\right)y+2mz&=&2m\\mx+\left(m^{2}-m\right)y-(m+1)z&=&-2m \end{array}\right.$

(a) Résoudre $S_{1}$ pour $m=0$

(b) Pour $m\neq 0$, monter à l'aide de la méthode du pivot de Gauss que $S_{1}$ est équivalente à $\left(S_{2}\right)$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+my-z&=&-1\\ y+mz&=&m\\ \left(m^{2}-1\right)z&=&m(m-1)\end{array}\right.$

(c) En déduire la solution de $S_{1}$ suivant les valeurs de $m$

Exercice 3

1. Soit $f_{n}$ le polynôme défini par : $f_{n}(x)=(x+1)^{n}+ax+b$, $a$, et $b$ des réels.

Déterminer $a$ et $b$ pour $f_{n}(x)$ soit divisible par $x(x+1)$

2. Déterminer le quotient de la division du polynôme $g_{n}(x)=(x+1)^{n}-1-x$ par $x(x+1)$

Exercice 4

On donne $f_{m}(x)=m^{2}x^{2}+(2m-1)x-1\;,m\in\mathbb{R}$

1. On considère dans $\mathbb{R}$, l'équation $\left(E_{m}\right)\ :\ m^{2}x^{2}+(2m-1)x-1=0$

(a) Résoudre $\left(E_{0}\right)$

(b) Étudier que $\forall m\in\mathbb{R}^{\ast}\;,\left(E_{m}\right)$ admet deux solutions réelles distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$

c. Étudier la position de $x_{1}$ et $x_{2}$ par rapport au réel $-\dfrac{1}{m}$ pour $m\in\mathbb{R}^{\ast}$

2. résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $\sqrt{x+2}=mx+1$

Exercice 5

Soit $\mathbb{P}=\left\lbrace\text{ polynôme }p\text{ tel que }p\left(x^{2}\right)=\left(1+x^{2}\right)p(x)\right\rbrace$

1. Montrer que le polynôme nul appartient à $\mathbb{P}$

2. Soit $p\in\mathbb{P}$ différent du polynôme nul

(a) Calculer $p(1)$ en déduire $p(-1)$

(b) Déterminer le degré de $p$

(c) En déduire l'expression de $P(x)$

(d) Déterminer alors le polynôme $q\in\mathbb{P}$ vérifiant $q(0)=2$