Bac du 1er groupe Epreuve - L 2017

Exercice 1

On donne la polynôme $P(x)=ax^{2}+b^{2}-18x+c$ ; où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

Déterminer $a$, $b$ et $c$ sachant que $P\left(\dfrac{1}{2}\right)=0$, $P(0)=8$ et $P(2)=0$

2. Dans la suite, on considère que $P(x)=2x^{3}+3x^{2}-18x+8$

a. Factoriser $P(x)$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation : $P(x)=0$

c. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation : $P(x)\leq 0$

3. Déduire des questions précédentes les solutions dans $\mathbb{R}$ de : 

$(E)\ :\ 2(\ln(x+1))^{3}+2\ln(x+1))^{2}-18\ln(x+1)+8=0$

$\left(E'\right)\ :\ 8\mathrm{e}^{-2x}-18\mathrm{e}^{-x}+2\mathrm{e}^{x}+3\leq 0$

Exercice 2

Dix candidats dont quatre garçons et six filles se présentent à un concours pour lequel les trois premiers sont primés. 

Il n'y a pas d'ex-æquo.

1. Déterminer le nombre de façons de primer des trois premiers.

2. Calculer la probabilité des événements suivants :

a. A : « le premier prix est obtenu par une fille »

b. B : « aucune fille n'est primée »

c. C : « un seul garçons est primé et il est le troisième »

d. D : « un seul garçons est primé »

Problème 

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie par : $f(x)=x^{3}-3x+1$

$\left(C_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$, unité graphique $\,cm$

1. Déterminer l'ensemble de définition $F_{f}$ de $f.$

Étudier les limites de f aux bornes de $D_{f}.$

2. Montrer que le point $\Omega(0\ ;\ 1)$ est un centre de symétrie de (Cf).

3. Déterminer la fonction dérivée $f'$ de $f.$

4. Étudier le signe de $f'$

5. Dresser le tableau de variations de $f.$

6. Déterminer une équation de la tangente de $(T)$ à $(_{f}$ au point $\Omega$

7. Placer $\omega.$ Construire la tangente $(T)$et la courbe $C_{f})$ dans le repère $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

8. Calculer l'aire, en $\,cm^{8}$, du domaine du plan compris entre la courbe $\left(C_{f}\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x=-\dfrac{3}{2}$ et $x=0$