Correction concours en classe de seconde scientifique à l'institut islamique de Dakar pour l'année scolaire 2024-2025

Exercice 1
 
Pour chacune des questions ci-dessous, trois réponses $A$, $B$ et $C$ ont été proposées, dont une seule est exacte.

Pour répondre, tu écris sur ta copie le numéro de la question et la lettre représentant la réponse choisie.
 
Une réponse juste est notée $1.5$ une réponse fausse est notée $-0.5$ et une absence de réponse est notée $0.$

Un total négatif est ramené à $0$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}  \hline N^{\circ}&\text{Question }&A&B&C\\ \hline1&\text{Dans le plan rapporté à un repère }&&&\\&\text{orthonormé }\left(O\;,\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)\text{on considère les points }&\left(-\dfrac{1}{2}\;,\dfrac{1}{4}\right)&\left(\dfrac{1}{2}\;,\dfrac{1}{4}\right)&\left(\dfrac{3}{2}\;,\dfrac{1}{4}\right)\\&A(-1\;,0)\text{ et }B\left(2\;,\dfrac{1}{2}\right)\text{ Quel est le couple }&&&\\&\text{de corrdonnées de milieu de }[AB]?&&&\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : B

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Soient }x\text{et }y\text{deux réel inverses l'un de l'autre }&&&\\ \hline 2&\text{Quelle est la valeur de }x^{2024}\times y^{2025}?&x&1&y\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : C

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 3&\text{Soit }ABCD\text{ un parallélogramme de centre }O&\overrightarrow{AC}&\overrightarrow{O}&\overrightarrow{CA}\\ &\text{Quel est le vecteur égal à la somme }\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{CO}?\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : B

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 4&\text{Quel est l'ensemble des solution de l'inéquation }&\left]-\infty\;,-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right[&\left]\sqrt{\dfrac{2}{3}}\;,+\infty\right[&\left]-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\;,\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right[\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : C

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 5&\text{Quelle est la valeur du réel }&&&\\ &M-\sqrt{3-\sqrt{5}}\times\sqrt{3+\sqrt{5}}?&\sqrt{6}&2&2\sqrt{3}\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : B

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 6&\text{Quel est le réel qui est égal à }&&&\\ &\dfrac{\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}-\left(1+\sqrt{2}\right)^{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}&-2\sqrt{2}&-1&2\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : A

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline &\text{Dans le plan est rapporté à un orthonormé}&&&\\ 7&\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)\;,\text{on considère le points }&&&\\ &E(3\;,2)\text{ et le point }F\text{ tel que }&&&\\&
\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}&(3\;,1)&(1\;,3)&(-1\;,-3)\\ &\text{Quel est le couple de coordonnées du point }F?&&&\\ \hline \end{array}$

Bonne réponse : B

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline 8&\text{Soit }EFGH\text{ un carré de centre }I1\overrightarrow{EI}&\text{FH}&\overrightarrow{FG} \\\hline \end{array}$

$\boxed{Quel est le vecteur égal à }\overrightarrow{EF}-2\overrightarrow{HI}$

Bonne réponse : C

Exercice 2

1. Construis un triangle en $N$ tel que $MN=4\,cm$ et $\overbrace{MON}=30^{\circ}$

$\tan 30^{\circ}=\dfrac{NM}{NO}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\,NO=4\sqrt{3}$

par Pythagore, $NO^{2}=16+48=64\Rightarrow\,MO=8$

3. Soit $I$ le pied de la hauteur issue de $N.$ Calcule $NI.$

En calculant de deux façon l'aire du triangle rectangle $MNO$, on a :

$\dfrac{MN\times ON}{2}=\dfrac{NI\times OM}{2}\Rightarrow\,NI=\dfrac{MN\times ON}{OM}=\dfrac{4\times 4\sqrt{3}}{8}$, soit $NI=2\sqrt{3}$

4. La droite passant par $M$ et parallèle à la droite $(NI)$ coupe la droite (ON) en $T$

Calcule $MT$

$\cos 30^{\circ}=\dfrac{OI}{ON}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\,OI=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 4\sqrt{3}=6$

En appliquant THALES dans les triangles $OIN$ et $OMT$, on a :

$\dfrac{IN}{MT}=\dfrac{OI}{OM}\Rightarrow\,MT=\dfrac{IN\times OM}{OI}=\dfrac{2\sqrt{3}\times 8}{6}$

Soit : $MT=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

5. Soit $E$ le centre du cercle circonscrit au triangle $MOT$

Démontre que le triangle $M$ et est un triangle équilatéral.

Vu que le triangle $OMT$ est rectangle en $M$, $[OT]$ est un diamètre du cercle circonscrit à $MOT.$

$E$ est donc le milieu de $[OT]$

Les segments $[EM]$ et $[ET]$ étant des rayons de ce cercle, sont égaux.

D'autre part, $OT^{2}=OM^{2}+MT^{2}=64+\dfrac{64}{3}=\dfrac{4\times 64}{3}\Rightarrow\,OT=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}$

Donc $ET=\dfrac{OT}{2}=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}=MT$

D'où le résultat.