Devoir harmonise de mathématique du 1er semestre 1er L - 2025

Exercice 1

Parmi les trois réponses proposées une seule est vraie.

Choisir la bonne réponse

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline N^{\circ}&\text{Enoncés }&\text{Réponse }A&\text{Réponse }B&\text{Réponse }C\\ \hline 1&p(x)=5x^{3}-x^{2}-9\text{ alors }&0&-9&27\\ &P(2)\text{ est }:&&&\\ \hline
2&\text{ si }a\text{ est une racine d'un }&p(x)=a&p(a)=x&p(a)=0\\ &\text{ polynôme }p(x)\text{ alors }&&&\\
\hline 3&\text{ Le demi-plan d'inéquation }&\text{ Contient le }&\text{ Contient le }&\text{Contient le }\\
&x+3y\geq -2&\text{ couple }(-3\ ;\ 0)&\text{ couple }(0\ ;\ -1)&\text{ couple }(3\ ;\ 0)\\ \hline
4&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&\\ 2x+3y-8z&=&-3\\ -x+2y+z&=&2 \end{array}\right.&&&\\
&\text{ a pour solution : }&\left\lbrace(0\ ;\ 0_\ ;\ 0\right\rbrace&\left\lbrace1\ ;\ 1\ ;\ 1)\right\rbrace&\left\lbrace(2\ \ ; 0\ ;\ 3)\right\rbrace\\ \hline 5&\text{Le polynôme }&&&\\ &P(x)=5x^{3}-x^{2}-9a&3\ ;\ 2\ ;\ 1\text{ et }-9&5\ ;\ 1\text{ et }-9&5\ ;\ -1\ ;\ 0\text{ et }-9\\ \hline 6&\text{Si }&\text{ Alors }2\text{ est une racine }&\text{ Alors }1\text{ est une }&\text{ Alors }-1\text{ est une}\\ &p(x)=2x^{3}-x^{2}-2x+8&\text{ de }p(x)&\text{ racine de }p(x)&\text{ racine de }p(x)\\ \hline \end{array}$

Exercice 2

a. Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant :

$\left(S_{1}\right)$ : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y-z&=&2\\ x+y-3z&=&0\\ 2x+3y+z&=&8 \end{array}\right.$

b. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y-2&\leq&0\\
x+y-1&>&0 \end{array}\right.$

Exercice 3

On donne le polynôme $P$ définie par $P(x)=2x^{3}-11x^{2}+17x+a$

a. Déterminer $a$ sachant que $p(1)=2$

Dans la suite on suppose que : $P(x)=2x^{3}-11x^{2}+17x-6$

b. Préciser les coefficients de $P(x)$

c. Vérifier que $2^$ est une racine de $P$ 

d. Factoriser complètement $P(x)$ en précisant la méthode choisie. 

e. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $P=0$ 

f. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $P(x)\leq 0$