Test Olympiades Maths 20232nde-1ere

Problème 1 :

Un numéro de téléphone particulier !!!

Un numéro de téléphone a la forme $ABC-DEF-GHIJ$, où chaque lettre représente un chiffre
différent.

Les chiffres de chaque partie du nombre sont dans l'ordre décroissant ; c'est-à-dire
$A>B>c\;,D>E>F$ et $G>H>I>J$

De plus, $D$, $E$ et $F$ sont des chiffres pairs consécutifs, $G$, $H$, $I$ et $J$ des chiffres impairs consécutifs et $A+B+C=9$
 
Quelle est la valeur de $A$ ?

Problème 2 :

De la géométrie dans un triangle !!!

$ABC$ est un triangle.

La bissectrice intérieure de l'angle
$:\overbrace{CAB}$ coupe $[CB]$ en $M'.$

Prouve que :

$\dfrac{1}{MM'}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}$

Problème 3 :

Apprenons à compter !!!

Combien y-a-t-il d'entiers naturels non nuls inférieurs à $2023$ qui sont des multiples de $3$ ou $4$ mais pas de $5$ ?

Problème 4 :

Un calcul d4aire !!!

Quatre grands cercles de rayon $5$ sont disposés de manière que leurs centres soient les sommets d'un carré.

Chacun des grands cercles est tangent à deux autres grands cercles (c'est-à-dire que
chacun des grands cercles est disposé de manière à toucher les bords des deux autres grands cercles) comme dans la figure ci-dessous

Un petit cercle de rayon $r$ est tracé dans la région située entre les quatre grands cercles.

Le petit cercle est tangent à chacun des
grands cercles.

L'unité étant le centimètre, calcule l'aire de la partie hachurée