Olympiades nationales 2nde 1ere 2024

Problème 1 :

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $x\in\mathbb{R}\;,f(x +2\,f)\left(\dfrac{x+2023}{x-1}\right)=4013-x.$

Calcul $f(2025)$

Problème 2 :

Soit $\Gamma_{1}$ et $\Gamma$ deux cercle se coupant aux poins $A$ et $B$

Une tangente commune $\Delta$ aux deux cercles $\Gamma_{1}$ et $\Gamma_{2}$ respectivement aux points de contacts $C$ et $D$ est coupée par la droite $(AB)$ en $M$

démontre que $M$ est milieu du segment $[CD]$

Problème 3 :

Soit $a$, $b$ et $c$ des nombres réels strictement positifs.

Démontrer l'inégalité :

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq \dfrac{3}{2}$

Problème 4 :

Soit $x$, $y$, $z$, $a$, $b$, et $c$ des nombres réels strictement positifs vérifiant : $\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}$

Démontre l'égalité : $\sqrt{ax}+\sqrt{by}+\sqrt{cz}=\left(\sqrt{a+b+c}\right)\left(\sqrt{x+y+z}\right)$

Question 5

Trouver tous les entiers $a$ et $b$ strictement positifs vérifiant l'équation

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{ab}=1$