Concours d'entrée en classe de seconde scientifique à l'institut de Dakar pour l'année scolaire $2024-2025$

Exercice 1

1. On donne $A=\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}$ et $B=-\dfrac{6+9\sqrt{3}}{23}$

Montre que $A$ et $B$ sont inverse

On a $AB=\left(\dfrac{2}{3}-\sqrt{3}\right)\left(-\dfrac{6+9\sqrt{3}}{23}\right)=-\dfrac{12}{69}-\dfrac{18\sqrt{3}}{69}+\dfrac{6\sqrt{3}}{23}6\dfrac{27}{23}=-\dfrac{12}{69}+\dfrac{81}{69}-\dfrac{18\sqrt{3}}{69}+\dfrac{18\sqrt{3}}{69}$

Soit : $AB=\dfrac{69}{69}=1$ Donc $A$ et $B$ sont bien inverse

2. On considère les réels $E$, $F$ et $G$ suivants :

$E=\sqrt{3}-1$,

$F=\sqrt{\sqrt{3}-1}$ et

$G=\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}$

Sans utiliser la calculatrice, range, avec justification à l'appui, ces trois nombres dans l'onde croissant

l'expression $E$ est positive car on a $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{3}\right)^{2}&=&3\\ 1^{2}&=&1
\end{array}\right.$ et $3>1$ donc $\sqrt{3}>1$ (deux nombres positif étant rangés dans le même ordre que leurs carrés)

Mais on a aussi $E<1$ car $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \left(\sqrt{3}\right)^{2}&=&3\\
2^{2}&=&4 \end{array}\right.$ et $3<4$, donc $\sqrt{3}<2$ ce qui entraine que $\sqrt{3}-1<1.$

Ainsi, on a $0<E<1$

Or pour tout réel a compris entre $0$ et $1$ $0<\alpha^{2}<\sqrt{a}<1$

En effet, puisque $a<1$ et que deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrées, on a : $\sqrt{a}<\sqrt{1}$ , donc : $\sqrt{a}<1$

On déduit de cette dernière inégalité, en multipliant les deux membres par $\sqrt{a}>0$ que : $a<\sqrt{a}$

Puis en élevant au carré les deux membres de cette dernière que $a^{2}<a$

Finalement, on a bien la série d'inégalités annoncées.

En appliquant cela à $a=E$, on obtient

$E^{2}<E<\sqrt{E}$, soit : $G<E<F$

3. On pose $K=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}\ :\ \dfrac{1-\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}$

Montre que $k$ est un entier

$k=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\ :\ \dfrac{1-\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{2}{3}}$

$k=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{1}{2}}\ :\ \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{5}}=3\times 5=15$ qui est bien un entier naturel

4. On pose : $L=\dfrac{\left(a^{-2}b^{3}\right)^{2}\times \left(ab^{3}\right)^{-4}}{b\times\left(a^{3}b^{2}\right)^{-3}}$ où $a$ et $b$ sont deux réels non nuls.

Écris $L$ sous la forme $L=a^{m}\times b^{p}$ où $m$ et $p$ sont des entiers relatifs

On a, en appliquant les propriétés usuelles des puissances :

$L=\dfrac{a^{-4}b^{6}\times a^{-4}b^{12}}{ba^{-9}b^{-6}}=\alpha^{-4-4+9}b^{6-12-1+6}=ab^{-1}$

Exercice 2

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que : $AB=4$ et $BC=5$

On considère trois points $E$, $F$ et $K$ du plan, tels que :

$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$ ;

$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{BC}$ ;

$\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}$

1. Construis le triangle $ABC$, puis place les points $E$, $F$ et $K$

2. Montre que :

a. Les points $E$, $F$ et $K$ sont alignés

b. Le point $K$ est le milieu du $[EF]$

La définition des points $F$,$K$ et $E$, la relation de Chasles et les propriétés usuelles du calcul vectoriel permettent d'écrire :

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{FK}&=&\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\\&=&-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\\&=&2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{BA}\\&=&2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\end{array}$

Soit : $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KE}$

Cette dernière égalité prouve en même temps que les points $E$, $F$ et $K$ sont alignés et que $K$ est le milieu du segment $[FE]$

3. Quelle est la nature du quadrilatère $BKFA$ ? Justifie ta réponse

Dans la questions précédente, on avait établi que $\overrightarrow{FK}=\overrightarrow{AB}$, soit $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{KB}$ ou

encore $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AF}$

Il en résulte que le quadrilatère $BKFA$ est un parallélogramme

4. Calcule le rayon du cercle circonscrit au triangle $BEF$

On avait aussi montré dans la question $2$ que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KE}$, donc $ABEK$ est un parallélogramme.

Or $(AB)\bot (AC)$, donc $(AB)\bot (AK)$ d'où l'on déduit que $ABEK$$ est un rectangle.

Par conséquence $(BE)\bot (KE)$, ou encore $(BE)\bot (EF).$

Ainsi, $E$ est un point du cercle de diamètre $[BF]$

Ce cercle, qui n'est autre que le cercle circonscrit au triangle $BEF$ a pour rayon $\dfrac{BF}{2}=BC=5\,cm$

Exercice 3

La figure ci dessus est une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$, de hauteur $SO=20$

Le quadrilatère $EFLG$ est une section de la pyramide $SABCD$ par un plan parallèle au plan de la base $ABCD$

On suppose que $AD=8$ et $\dfrac{GF}{AC}=\dfrac{1}{2}$ et on admettra que les droits $(GF)$ et $(AC)$ sont parallèles.

1. Montrer que $SC=12\sqrt{3}$ et $SK=4\sqrt{26}$

2.a. Calcule l'aire latérale de la pyramide $SABCD$

b. Déduis-en l'aire latérale $A_{L}$ de la pyramide $SGLFE$

3. Calcule le volume de la pyramide $SABCD$

4. Déduis-en le volume du solide  $ABCDGLFE$

1. $\bullet\ $Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, on a d'après le théorème de PYTHAGORE :

$\begin{array}{rcl} AC^{2}&=&AB^{2}+BC^{2}\\&=&8^{2}+8^{2}\\&=&128\\\text{d'où }AC&=&\sqrt{128}=\sqrt{2\times 64}\\&=&8\sqrt{2}\\\text{ et par suite }OC&=&4\sqrt{2} \end{array}$

$\bullet\ $Dans le triangle $SOC$, rectangle en $O$, on a :

$\begin{array}{rcl} SC^{2}&=&SO^{2}+OC^{2}\\&=&20^{2}+\left(4\sqrt{2}\right)^{2}\\&=&400+32\\&=&432 \end{array}$

Il en résulte que

$\begin{array}{rcl} SC&=&\sqrt{432}\\&=&\sqrt{4\times 108}\\&=&\sqrt{4\times 3\times 36}\\&=&12\sqrt{3}
\end{array}$

Dans le triangle $SOK$, rectangle en $O$, on a :

$\begin{array}{rcl} SK^{2}&=&SO^{2}+OK^{2}\\&=&20^{2}+(4)^{2}\\&=&400+16\\&=&416 \end{array}$

Il en résulte que

$\begin{array}{rcl} SK&=&\sqrt{416}\\&=&\sqrt{4\times 104}\\&=&\sqrt{4\times 4\times 26}\\&=&4\sqrt{26}
\end{array}$

2.a. Cette aire latéral vaut $4\times\dfrac{SK\times BC}{2}=2\times 4\sqrt{26}\times 8=64\sqrt{26}$

b. Le coefficient de réduction est $\dfrac{1}{2}$, donc l'aire de $SGLFE$ est le quart $\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right)$ de celle de la pyramide initiale $SABCD$, soit $16\sqrt{26}$

3. Le volume de la pyramide $SABCD$ vaut $\dfrac{1}{3}S_{B}\times\text{ hauteur }=\dfrac{1}{3}\times 8^{2}\times 20=\dfrac{1280}{3}$

4. Le volume du tronc de pyramide $ABCDGLFE$ est, par conséquent :

$\dfrac{1280}{3}-16\sqrt{26}$