Concours ingénieurs statisticiens économistes cycle long/analystes statisticiens - 2024

Avertissement !

$\bullet\ $Le sujet comporte quatre pages numérotées de $1$ à $4$

$\bullet\ $L'exercice $1$ est composé de $10$ questions indépendantes entre celle, toutes notées sur $1$ point.

Une note strictement inférieure à $6$ est éliminatoire.

Toutefois, cet exercice ne comportera que pour un cinquième dans la note de cette première épreuve.

Notations.

$-\ $On désigne par $\mathbb{N}$ l'ensemble des entiers naturels.

$-\ $On désigne par $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

$-\ $On désigne par $C$ l'ensemble des nombres complexes

$-\ $Il contient l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$, ainsi qu'un élément $i$ qui vérifie : $i^{2}=-1$

Exercice 1

1. Calculer l'intégrale $\int_{0}^{\sqrt{\pi}}x\sin\left(x^{2}\right)dx.$

2. Déterminer le domaine de définition de la fonction $x\mapsto\sqrt{\dfrac{x^{3}}{x-1}}.$

3. Montrer que la courbe représentative de la fonction $x\mapsto\dfrac{x^{2}-5x+7}{x-2}$ possède une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$, dont on déterminera une équation cartésienne.

4. Déterminer les limites à gauche et à droite en $2$ de la fonction de la question précédente.

5. Calculer la dérivée de la fonction $x\mapsto\sin(x)\ln(\cos(x))$ définie sur $\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\dfrac{\pi}{2}\right[$

6. Déterminer une forme trigonométrique du nombre complexe $\alpha=-3+i\sqrt{3}$

7. Une urne contient quatre boules indiscernables au toucher : deux boules avec le numéro $I$, une boule avec le numéro $5$ et une boule avec le numéro $8.$

On pioche au hasard sans remise une première boule, puis une deuxième.

On note $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenu

Calculer l'espérance de $X.$

8. On note $\left(u_{n}\right)n\in\mathbb{N}$ la suite définie par son première terme $u_{0}>0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n+1}=u_{n}^{2}+2u_{n}.$

Étudier la monotonie de la suite, puis déterminer sa limite.

9. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : $v_{n}=\dfrac{3\ln(n)^{4}-n^{3}+\mathrm{e}^{-n}}{1+\cos(n)+2n^{3}}$

Étudier la limite de la suie $\left(v_{n}\right)n\in\mathbb{N}$

10. Résoudre l'équation : $\dfrac{1}{2}x^{4}-2x^{2}-3=0$ d'inconnue $x\in\mathbb{R}$, puis d'inconnue $x\in C.$

Exercice 2

1. Question préliminaire.

Montrer que la composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissantes  est décroissante.

Dans cet exercice, on note $I$ l'intervalle $[-1\;,+\infty[$, et on appelle $f$ la fonction définie par : $$\forall x\in I\;,f(x)=x\mathrm{e}^{x}$$

2. Dresser le tableau de variation de $f$

3. Montrer que la fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à préciser.

On note $g$ la réciproque de la fonction $f$, c'est-à-dire la fonction définie par la relation : $$\forall x\in I\;,\forall y\in J\;, y=f(x)\Longleftrightarrow x=g(x)$$

4. Donner sans démonstration le tableau de variations complet de la fonction $g$, et préciser $g(0).$

5. Montrer  que pour tout $x\in J$ :$g(x)\mathrm{e}^{g(x)}=x.$

Pour tout réel $a>0$, on note $h_{a}$ la fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}+ax^{2}$ définie sur $\mathbb{R}.$

6. Soit $a>0$

a. Montrer que la fonction $h_{a}$ admet un minimum.

On note $m_{a}$ le point en lequel ce minimum est atteint.

b. Exprimer $m_{a}$ en fonction de $\alpha$ et à l'aide de la fonction $g.$

c. Montrer que : $h_{a}\left(m_{\alpha}\right)=\dfrac{\mathrm{e}^{-m_{\alpha}}}{2}\left(m_{\alpha}+2\right)$

7. Montrer que la fonction $a\mapsto m_{\alpha}$ définie sur $]0\;,+\infty[$ est décroissante, puis calculer ses limites aux bornes de son domaine de définition.

8.a. Montrer que la fonction $a\mapsto h_{\alpha}\left(m_{\alpha}\right)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+\infty$

Exercice 3

On note $\varphi$ la fonction $x\mapsto 3\sin(x)^{5}-5\sin(x)^{3}+1$ définie sur $\mathbb{R}$, et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\;,\vec{j}\right)$

I. Le but de cette question est de trouver un intervalle d'étude intelligent de $\varphi$ permettant de tracer entièrement la courbe $\mathcal{C}$

a. Expliquer pourquoi l'étude de $\varphi$ sur l'intervalle $[-\pi\;,\pi[$ permet de tracer entièrement $\mathcal{C}$ 

b. Montrer que le point $I\left(0\ ;\ I\right)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}$

c. Montrer que la droite d'équation : $x=\dfrac{\pi}{2}$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}$

d. Expliquer finalement pourquoi l'étude de $\varphi$ sur $\left[0\;,\dfrac{\pi}{2}\right]$ permet de tracer entièrement la courbe $\mathcal{C}$

2. On note $\psi$ la fonction $x\mapsto 3x^{5}-5x^{3}+1$ définie sur $\mathbb{R}$

a. Calculer $\psi(0)$, $\psi(1)$ et $\psi(-1)$

b. Dresser le tableau de variations de la fonction $\psi$

c. En déduire les variations de $\varphi$ sur $\left[0\;,\dfrac{\pi}{2}\right]$

3. Construire la courbe $\mathcal{C}$

Exercice 4

On note $B$ la fonction définie pour tous $a\;,b\in[0\;,+\infty[$ par :

$B(a\;,b)=\int_{0}^{\dfrac{x}{2}}\cos(\theta)^{2}\sin(\theta)^{2}d\theta$

b. Montrer que pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ : $\cos(\theta)^{2}\sin(\theta)^{2}=\dfrac{1-\cos(4\theta)}{8}$

c. En déduire la valeur de $B\left(\dfrac{1}{2}\;,\dfrac{1}{2}\right)$

3. Soient $a$, $b\in[0\;,+\infty[$

a. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que : 

$B(a+1\;,b)=\dfrac{a+1}{b+1}B(a\;,b+1)$

b. Vérifier que : $B(a+1\;,b)+B(a\;,b+1)=B(a\;,b)$

c. En déduire une expression de $B(a+1\;,b)$ en fonction de $B(a\;,b)$ en fonction de $B(a\;,b)$

d. Au moyen d'une changement de variable, montrer que : 

$B(a\;,b)=B(b\;,a)$

c. En déduire la valeur de $B\left(\dfrac{1}{2}\;,\dfrac{1}{2}\right)$ 

3. Soient $a\;,b\in[0\;,+\infty]$

a. A l'aide d'une intégration par parties montrer que 

$B(a+1\;,b)=\dfrac{a+1}{b+1}B(a\;,b+1)$

b. Vérifier que : $B(a+1\;,b)+B(a\;,b+1)=B(a\;,b)$

c. En déduire une expression de $B(a+1\;,b)$ en fonction de $B(a\;,b)$

d. Au moyen d'un changement de variable, montrer que : $B(a\;,b)=B(b\;,a)$

e. En déduire la valeur de $B\left(\dfrac{5}{2}\;,\dfrac{3}{2}\right)$

Exercice 5

On note $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par $u_{0}\in]0\;,1[$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=u_{n}-u_{n}^{3}$

1.a. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $u_{n}\in]0\;,1[$

b. Montrer que la suite converge vers $0$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose :

$v_{n}=\dfrac{1}{u_{n+1}^{2}}-\dfrac{1}{u_{n}^{2}}$

2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $u_{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$

En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)_{n}\in\mathbb{N}$ converge vers $2.$

3. On note $f$ a fonction $x\mapsto\dfrac{2-x}{(1-x)^{2}}$ définie sur l'intervalle $]0\;,1[$

a. Montrer que $f$ est croissante.

b. En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissance.

c. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_{n}\geq 2$

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on pose : 

$x_{n}=\dfrac{1}{n+1}\Sigma_{\lim\limits k=0}^{n}v_{k}=\dfrac{v_{0}+\ldots+v_{n}}{n+1}$

4.a. Justifier que pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $v_{0}\geq x_{n}\geq v_{n}$

b. Montrer que la suite $\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ est décroissante.

En déduire qu'elle converge, puis que sa limite $L$ vérifie : 

$L\geq 2$

c. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$

$2x_{2n+1}-x_{n}\leq v_{n+1}$

En déduire que $L=2$

d. Exprimer simplement $x_{n-1}$ en fonction de $u_{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}.$

Exercice 6

1. Question de cours. 

Dans cette question, on fixe deux nombres réels $a$ et $b$

a. Montrer que :

$(\cos(a)+i\sin(a))\times(\cos(b)+i\sin(b))=\cos(a+b)+i\sin(a+b)$

b. Montrer par récurrence que : $\forall n\in\mathbb{N}$, $(\cos(a)+i\sin(a))^{n}=\cos(na)+i\sin(na)$

L'objectif de cet exercice est de résoudre l'équation : 

$z^{6}+(7-i)z^{3}-8-8i=0$ d'inconnue $z\in C$

2.a. Déterminer $a\;,b\in\mathbb{R}$ de sorte que : $(a+ib)^{2}=80+18i$

b. En déduire les racines de l'équation : $x^{2}+(7-i)x-8-8i=0$ d'inconnue $x\in C$

3.a. Vérifier que pour tous $a\;,b\in C$ :

$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)$

b. En déduire les racines cubiques complexes de $-8$, c'est-à-dire les nombres complexes $z\in C$ pour lesquels : $z^{3}=-8$

4.a. Écris $I+i$ sous forme trigonométrique.

b. En déduire les solutions de l'équation :

$z^{3}=1+i$ d'inconnue $z\in C$

Vous écrivez les solutions sous forme trigonométrique.

Exercice 7

Une entreprise fabrique des casques audio.

Dans sa production, $5\%$ des casques ne sont pas conformes (ils ont un défaut).

Afin de détecter les casques défaillants, l'entreprise met en place un contrôle qualité : ce contrôle permet de rejeter $96\%$ des casques défaillants, mais rejette malheureusement également $7\%$ des casques en état de marche.

Dans la suite, on note $\mathbb{R}$ l'événement <<le casque est rejeté>>, et $D$ l'évènement <<le casque est défaillant>>.

1. On choisit un casque au hasard dans cette production.

a. Calculer $P\left(\overline{R}\cap D\right)$, c'est-à-dire la probabilité que le casque ne soit pas rejeté au contrôle qualité et qu'il soit défaillant.

b. Quelle est la probabilité qu'il y ait une erreur de contrôle ?

c. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas rejeté par ce contrôle ?

A la suite du text, les casques qui sont détectés défaillants sont détruits, et ne sortent donc pas de l'usine.

L'entreprise fabrique $10 000$ casques chaque jour.

2. Combien de casques sortent effectivement chaque jour de l'entreprise en moyenne ?

2. Combien de casque coûte $20$ euros.

Chaque casque sortant de l'usine est vendu $80$ euros, et on suppose que tout les casque sont vendus.

Cependant, l'entreprise, qui tient à sa réputation, promet de payer $160$ euros aux malheureux clients qui auraient acheté un casque défectueux.

3. Combien rapporte en moyenne un casque à l'entreprise ?