Composition du première semestre - 1er L

Exercice 1

Compléter les phrases suivantes

1. Si $a$ est racine d'un polynôme $P(x)$ alors $P(x)$ est factorisable par $x\ldots$

2. La forme factorisée d'un trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$

2. dont les racines sont $x_{1}$ et $x_{2}$ est $\ldots$

3. Si $a$ est une racine d'un polynôme de degré $4$

Il existe un polynôme $Q(x)$ de degré $\ldots$ tel que $P(x)=(x-a)Q(x)$

B. Répondre par vrai ou faux

a. $X$ et $y$ sont réels : $x^{3}-y^{3}=(x+y)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)$

b. Un polynôme de degré $3$ admet $3$ racines.

b. Un polynôme qui a pour racine $a$ et $\beta$ est factorisable par $(x-a)(x-\beta)$

Exercice 2

A. Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants :

$\left(S_{1}\right)\left\lbrace\begin{array}{rcl} -2x+5y&=&2\\ -3x+2y&=&-8 \end{array}\right.$

C. Résoudre graphiquement le système suivant : 

$\left(S_{4}\right)\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z&=&6\\ -2x-3y+2z&=&-5\\ 3x-2y-2z&=&3 \end{array}\right.$

Exercice 3

Soit $P$ le polynôme défini par $P(x)=3x^{3}-x^{2}-8x-4$

1. Vérifier que $2$ est une racine de $P$

2. Déterminer le polynôme $Q$ tel que $P(x)=(x-2)Q(x)$

3. Factoriser $Q(x)$ puis en déduire une factorisation complète de $P(x)$

4. Résoudre dans$\mathbb{R}$ :

a. $P(x)=0$

b. $P(x+2)=0$

c. $P(x)<0$

Exercice 4

Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

$f(x)=5x^{2}-x+1$

$g(x)=x+1-\dfrac{1}{x+2}$

$h(x)=\sqrt{1-x}$

$j(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}$