Épreuve  bac du 1er groupe - L 2023

Exercice 1

1. Rappeler la définition d'une suite géométrique et celle d'une suite arithmétique.

2. Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{0}$

3. Donner l'expression de un en fonction de $r$, $n$ et $u_{1}$

4. Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_{0}$

Donner l'expression de $v_{n}$en fonction de $q$, n et $v_{0}$

5. Soit $A$ un événement d'un univers $\Omega$ dans une épreuve aléatoire.

Dans le cas de l'équiprobabilité, rappeler la formule de la probabilité de $A.$

Dans le cas de non équiprobabilité, quelle serait la probabilité de $A$ ?

Exercice 2

Soit les suite $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ par : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} U_{0}&=&9\\ U_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}U_{n}+2
\end{array}\right.$ et $v_{n}=u_{n}-3$

1. Calculer $u_{1}$, $u_{2}$, $v_{0}$ et $v_{2}$

2.Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}\;,v_{n+1}=\dfrac{1}{3}v_{n}.$

Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ?

3. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$

4. Exprimer un en fonction de $v_{n}$, puis en fonction de $n$

Exercice 3

Aminata a dans son sac sept billets de banque dont trois de $10000\;f$ et quatre de $5000\;f.$

Elle désire acheter pour son fils un vélo qui coûte $30000\;f$ dans un magasin.

Elle tire au hasard simultanément $4$ billets de son sac et compte le montant obtenu.

On précise que tous les billets ont la même chance d'être tirés.

1. Déterminer tous les montants qu'elle peut obtenir à l'issue de ce tirage.

2. Calculer la probabilité d'obtenir un montant supérieur ou égal à $25000\;f$

3. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement le montant permettant à Aminata d'acheter le vélo.

Exercice 4

On considère la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}-x+1$ et $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j}\right)$

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f.$

2. Calculer les limites aux bornes de $D_{f}$

3. Montrer que la droite $(D)\ :\ y=-x+1$ est une asymptote oblique à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en $-\infty$

4. Étudier la position de $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ par rapport à $(D).$

5. Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$ puis étudier son signe.

6. Dresser le tableau de variations de $f.$

7. calculer $\lim\limits_{x\longrightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

8. Tracer la droite $(D)$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le même repère.

9. Soit la fonction $F$ définie par $F(x)=\mathrm{e}^{x-1}-\dfrac{1}{2}x^{2}+x$, pour tout $x\in\mathbb{R}$

a. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$

b. Calculer $\int_{0}^{2}$ puis interpréter géométriquement le résultat obtenu